2018-03-02

2018年一橋大学文系数学大問1

大学入試問題数Ｂ数Ａ数学

一橋大も易化しましたね。最近は難関大が易化傾向にあるようで...

2018年一橋大学文系数学大問1
正の整数の各位の和をで表す。たとえば
　　　　
である。
(1)のとき、不等式を示せ。
(2)を満たすを求めよ。

誘導がありがたい問題ですね。桁数が4桁に絞られるので扱いやすくなります。
一橋大の整数、このパターン多いのかも？

(考察)
(1) $S(n)$ の値は桁数に応じて変化しますが、上からも下からも押さえることができるので、うまく不等式の関係を使えそうですね。とりあえず、帰納法が良いのでは。
(2)(1)の主張から $n$ は4桁以下であることが分かりますから、あとは整数問題として解きましょう。うまく範囲を絞っていけば簡単簡単。

(解答)
(1)
$n \ge 10000$ のとき、 $n$ は5桁以上であるから、 $n$ を $k(\ge 5)$ 桁とすると
$S(n)$ の最大値は、 $9$ が $k$ 個連なった時の $9k$ 、最小値は最高位が $1$ で残りが $0$ の時の $1$ だから
　　　　 $1 \le S(n) \le 9k$
また、 $n$ が $k$ 桁の時
　　　　 $10^{k-1} \le n < 10^k$
である。
よって、不等式 $n>30S(n)+2018$ を示すには
　　　　 $10^{k-1} > 30 \cdot 9k +2018$ 　　 $(k \ge 5)$
を示せば十分。
以下、この不等式を数学的帰納法で示す。
$f(k)=10^{k-1}-270k-2018$ とおく
(i) $k=5$ のとき
　 $f(5)=10^4-1350-2018=6632>0$
　よって、適。

(ii) $f(k)>0$ と仮定、つまり $10^{k-1} > 270k +2018$ とするとき
　 $\begin{eqnarray} f(k+1)&=&10^k-270(k+1)-2018\\ &=&10 \cdot 10^{k-1}-270k-270-2018\\ &>&10(270k+2018)-270k-270-2018\\ &=&2430k+17892\\ &>&17892>0\end{eqnarray}$
　となり、 $f(k+1)>0$ となる

(i)(ii)より $(k \ge 5)$ のとき $10^{k-1} > 30 \cdot 9k +2018$ であることが示され、 $n \ge 10000$ のとき、 $n>30S(n)+2018$ であることが示された。

(2)
(1)より $n$ が5桁以上であるとき等号は成立しない。よって $n$ は4桁以下であるから
　　　　 $n=1000a+100b+10c+d$ 　　 $(a,b,c,d$ は $0$ 以上の $1$ 桁の整数 $)$
と表せる。
このとき、 $S(n)=a+b+c+d$ だから、与えられた方程式は
　　　　 $\begin{eqnarray}1000a+100b+10c+d&=&30(a+b+c+d)+2018\\ 970a+70b-20c-29d&=&2018\end{eqnarray}$
となる。
ここで、 $970a=2018-(70b-20c-29d)$ であるから $a$ について絞り込みを行う。
$70\cdot 0-20\cdot 9-29\cdot 9 \le 70b-20c-29d \le 70 \cdot 9-20\cdot 0-29\cdot 0$
つまり
$-441 \le 70b-20c-29d \le 630$
よって
$2018-630 \le 970a \le 2018+441$
つまり
$1388 \le 970a \le 2459$
である。
これを満たす $a$ は $a=2$ のみ。

よって方程式は
　　　　 $\begin{eqnarray}1940+70b-20c-29d&=&2018\\ 70b-20c-29d&=&78\end{eqnarray}$
となる。
ここで、 $10(7b-2c)=29d+78$ であるから、 $29d+78$ は $10$ の倍数。
一の位が $0$ になることを考えると、 $d=8$ のみであることがわかる。
よって、方程式は
　　　　 $\begin{eqnarray}10(7b-2c)&=&310\\ 7b-2c&=&31\\ 7b&=&2c+31\end{eqnarray}$
となる。
$2\cdot 0 +31\le 2c+31 \le 2\cdot 9+31$
つまり
$31 \le 7b \le 49$
だから
$b=5,6,7$

$b$	$5$	$6$	$7$
$2c+31(=7b)$	$35$	$42$	$49$
$c$	$2$	$\frac{11}{2}$	$9$

以上より $n=2528,2798$

絞り込みを何度も用いるタイプの問題でした。やはり一橋大にしてはかなり易しめですね。

2018-03-02

2018年北海道大学理系数学大問3

大学入試問題数Ａ数学

得意だったはずの「順列」や「確率」ですが、高校数学から離れて1年。結構時間を食われました。恐るべし、時間の経過。

2018年北海道大学理系数学大問3
数字の2が書かれたカードが2枚、同様に、数字の0,1,8が書かれたカードがそれぞれ2枚、あわせて8枚のカードがある。これらから4枚を取り出し、横一列に並べてできる自然数をとする。ただし、0のカードが左から1枚または2枚現れる場合は、を3桁または2桁の自然数とそれぞれ考える。例えば、左から順に0,0,1,1の数字のカードが並ぶ場合のは11である。
(1)は整数とする。がの倍数になることとがの倍数になることは同値であることを示せ。
(2)がの倍数である確率を求めよ。
(3)が偶数であったとき、がの倍数である確率を求めよ。

(考察)
問題文があまりよくないですね。4枚出したら普通順番までは確定しないでしょうから...
まぁ、ここは、4枚を順に取り出して左から並べるとでも考えておきましょう。
(1)は9で割ってあげれば解答の形が見えてきます。3の倍数についても同じ議論ができますね。
(2)(3)は基本問題といったところでしょうか。何パターンか書き出して考察をしていけば、完答できるでしょう。
基本的な問題なので、合否を分ける問題になったのではないかと思います。

(解答)
(1)
$1000a+100b+10c+d=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)$ であることから、
・ $1000a+100b+10c+d$ が $9$ の倍数であるとき
　整数 $n$ を用いて $1000a+100b+10c+d=9n$ と書けるから、
　 $\begin{eqnarray}9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)&=&9n\\ a+b+c+d&=&9(n-111a-11b-c) \end{eqnarray}$
　 $a,b,c,d,n$ は整数だから $a+b+c+d$ は $9$ の倍数になる

逆に
・ $a+b+c+d$ が $9$ の倍数であるとき
　整数 $n'$ を用いて $a+b+c+d=9n'$ と書けるから、
　 $\begin{eqnarray}1000a+100b+10c+d&=&9(111a+11b+c)+9n'\\ &=&9(111a+11b+c+n') \end{eqnarray}$
　 $a,b,c,d,n'$ は整数だから $1000a+100b+10c+d$ は $9$ の倍数になる

以上より、 $1000a+100b+10c+d$ が $9$ の倍数になることと $a+b+c+d$ が $9$ の倍数になることは同値である

(2)
（確率の話なので）数字が同じでもすべてのカードを区別して考える
4枚のカードの和が9の倍数となるようなものを考えればよい
4枚のカードの和の最小値は $0+0+1+1=2$ で、最大値は $8+8+2+2=20$ であるから、4枚のカードの和が9の倍数となるとき、その値は $9,18$ のいずれかである。
・4枚のカードの和が $9$ のとき
　このような数字の組み合わせは $(0,0,1,8)$ のみ
　このときのカードの選び方は
　(2枚ある0のうち2枚選ぶ)かつ(2枚ある1のうち1枚選ぶ)かつ(2枚ある8のうち1枚選ぶ)なので
　 $\begin{eqnarray}{}_2 \mathrm{C} _2 \cdot {}_2 \mathrm{C} _1 \cdot {}_2 \mathrm{C} _1 &=& 1 \cdot 2 \cdot 2\\ &=& 4 \end{eqnarray}$
　この選んだ4枚を区別して並べるので $4\cdot 4! =96$ 通り

・4枚のカードの和が $18$ のとき
　このような数字のの組み合わせは $(0,2,8,8),(1,1,8,8)$ の2通り
　 $(0,2,8,8)$ となるカードの選び方は
　(2枚ある0のうち1枚選ぶ)かつ(2枚ある2のうち1枚選ぶ)かつ(2枚ある8のうち2枚選ぶ)なので
　 $\begin{eqnarray}{}_2 \mathrm{C} _1 \cdot {}_2 \mathrm{C} _1 \cdot {}_2 \mathrm{C} _2 &=& 2 \cdot 2 \cdot 1\\ &=& 4 \end{eqnarray}$
　この選んだ4枚を区別して並べるので $4\cdot 4! =96$ 通り

　 $(1,1,8,8)$ となるカードの取り出し方は
　(2枚ある1のうち2枚取り出す)かつ(2枚ある8のうち2枚取り出す)なので
　 $\begin{eqnarray}{}_2 \mathrm{C} _2 \cdot {}_2 \mathrm{C} _2 &=& 1 \cdot 1\\ &=& 1 \end{eqnarray}$
　この選んだ4枚を区別して並べるので $1 \cdot 4! =24$ 通り

よって、4枚のカードの和が9の倍数となるようなカードの取り出し方は $96+96+24=216$ 通り。

4枚のカードの取り出し方は全部で $\begin{eqnarray} {}_8 \mathrm{P} _4 &=&1680 \end{eqnarray}$ 通り。

よって、求める確率は
$\begin{eqnarray} \frac{216}{1680}&=&\frac{9}{70}\end{eqnarray}$

(3)
事象 $\mathrm{A}$ を「 $n$ が偶数である」、事象 $\mathrm{B}$ を「 $n$ が $9$ の倍数である」としたときの条件付き確率
　　　　 $\begin{eqnarray} \mathrm{P}_\mathrm{A}(\mathrm{B}) &=& \frac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})} \end{eqnarray}$
を求めればよい。

・ $\mathrm{P}(\mathrm{A})$ を求める
　 $n$ が偶数となるには、一の位の数字が偶数であればよいから、一の位の数字が1以外であればよい。
　よって
　　 $\begin{eqnarray}\mathrm{P}(\mathrm{A})&=&\frac{6}{8} &=&\frac{3}{4}\end{eqnarray}$

・ $\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})$ を求める
　(i) $(0,0,1,8)$ のとき
　　一の位が $0,0,1,8$ であるものはそれぞれ同じ数だけ存在するので、一の位が $0,0,8$ のいずれかであるものは（ $0$ は2つを区別する）
　　 $\begin{eqnarray} 96 \cdot \frac{3}{4} &=& 72 \end{eqnarray}$ 通り

　(ii) $(0,2,8,8)$ のとき
　　このとき、どのように並べても作られる $n$ は偶数。よって
　　 $96 \cdot 1=96$ 通り

　(iii) $(1,1,8,8)$ のとき
　　一の位が $8,8$ のいずれかであるものは
　　 $\begin{eqnarray} 24 \cdot \frac{2}{4} &=&12 \end{eqnarray}$ 通り

　全取り出し方は(2)と同様に $1680$ 通りであるから、
　 $\begin{eqnarray} \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) &=& \frac{72+96+12}{1680}\\ &=& \frac{180}{1680}\\ &=& \frac{3}{28} \end{eqnarray}$

以上より
　 $\begin{eqnarray} \mathrm{P}_\mathrm{A}(\mathrm{B}) &=& \frac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}\\ &=& \frac{3}{28} \cdot \frac{4}{3}\\ &=& \frac{1}{7}\end{eqnarray}$

(3)は(2)の場合分けで得られた組み合わせの数からどれくらいの割合、偶数が存在しているのかを考えると楽に計算ができるようになります。
（個人的には入力作業がつらい問題でした）

2018-03-01

2018年北海道大学理系数学大問2

大学入試問題数Ⅲ 数学

僕の苦手な複素数平面。

2018年北海道大学理系数学大問2
が実数となるようなと異なる複素数の全体をとする。
(1)を複素数平面上に図示せよ。
(2)を実数とする。に属するで方程式
　　　　
を満たすものが存在するようなの値の範囲を求めよ。ただしは虚数単位を表す。

(考察)
ポイントとなる考え方は、
$|z|^2=z\overline{z}$
$z$ が実数 $\Leftrightarrow$ $z=\overline{z}$
$z$ が純虚数 $\Leftrightarrow$ $z+\overline{z}=0$
これは $z=x+yi$ のようにおいて確認してみればすぐにわかります。
そして、複素数平面で重要なポイントとして、複素数をどのように表現するかがポイントになります
１． $z$ をそのまま扱う
２． $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)(0\leqq\theta<2\pi)$ とおく
３． $z=x+yi(x,y$ :実数 $)$ とおく
僕は上から順に試していくことにしています。 $x+yi$ は最終手段。計算が煩雑になることが多い気がします。
今回は２を利用しました。
では、そんな感じで、進めていきます

(解答)
(1)
$\begin{eqnarray}z+\frac{4}{z}\end{eqnarray}$ が実数 $\begin{eqnarray}\Leftrightarrow z+\frac{4}{z}=\overline{z+\frac{4}{z}}\end{eqnarray}$
つまり
$\begin{eqnarray}z+\frac{4}{z}&=&\overline{z}+\frac{4}{\overline{z}}\\ z\overline{z}(z+\frac{4}{z})&=&z\overline{z}(z+\frac{4}{\overline{z}})\\ z^2\overline{z}+4\overline{z}&=&z\overline{z}^2+4z\\ z\overline{z}(z-\overline{z})-4(z-\overline{z})&=&0\\ (z\overline{z}-4)(z-\overline{z})&=&0\\ (|z|^2-4)(z-\overline{z})&=&0\\|z|=2,z=\overline{z} \end{eqnarray}$
よって
$z$ は実軸上または中心 $0$ で半径 $2$ の円周上。ただし $z=0$ は除く
f:id:tamazarasi:20180301031357j:plain:w300

(2)
$z\in D$ より、方程式の左辺は実数になるので、右辺も実数。つまり、 $\begin{eqnarray}z-\frac{4}{z}\end{eqnarray}$ は純虚数。
よって
$\begin{eqnarray} (z-\frac{4}{z})+(\overline{z}-\frac{4}{\overline{z}})&=&0\\ z\overline{z}(z-\frac{4}{z}+\overline{z}-\frac{4}{\overline{z}})&=&0\\ z^2\overline{z}-4\overline{z}+z\overline{z}^2-4z&=&0\\ z(z\overline{z}-4)+\overline{z}(z\overline{z}-4)&=&0\\ (z+\overline{z})(|z|^2-4)&=&0\\ z+\overline{z}=0,|z|=2 \end{eqnarray}$
よって $z$ は純虚数または $|z|=2$ を満たす複素数。
$z\in D$ であることを考慮すると
$z$ が問題の方程式の解である $\Leftrightarrow |z|=2$

このとき、 $z\overline{z}=4$ であるから、問題の方程式は
$\begin{eqnarray} k(z+\frac{z\overline{z}}{z}+8&=&i(z-\frac{z\overline{z}}{z})\\ k(z+\overline{z}+8)&=&i(z-\overline{z}) \end{eqnarray}$
と書き換えられる。
ここで、 $|z|=2$ より $z$ は
　　　 $z=2(\cos\theta+i\sin\theta)$ 　　 $(0\leqq\theta<2\pi)$
とおけるので方程式に代入すると
$\begin{eqnarray} k\{2(\cos\theta+i\sin\theta)+2(\cos\theta-i\sin\theta)+8\}&=&i\{2(\cos\theta+i\sin\theta)-2(\cos\theta-i\sin\theta)\}\\ k(2\cos\theta+4)&=&i\cdot 2i\sin\theta\\ k&=&-\frac{\sin\theta}{\cos\theta+2} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} \frac{dk}{d\theta}&=&-\frac{\cos^2\theta+2\cos\theta-(-\sin\theta)\sin\theta}{(\cos\theta+2)^2}\\ &=&-\frac{\cos^2\theta+2\cos\theta+(1-\cos^2\theta)}{(\cos\theta+2)^2}\\ &=&-\frac{2\cos\theta+1}{(\cos\theta+2)^2} \end{eqnarray}$
よって $\begin{eqnarray}\frac{dk}{d\theta}=0 \Leftrightarrow \cos\theta=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \theta=\frac{2}{3}\pi,\frac{4}{3}\pi\end{eqnarray}$

$\theta$	$0$	…	$\frac{2}{3}\pi$	…	$\frac{4}{3}\pi$	…	$(2\pi)$
$\frac{dk}{d\theta}$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$k$	$0$	↓	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	↑	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	↓	$0$

よって $\begin{eqnarray}-\frac{\sqrt{3}}{3}\le k\le\frac{\sqrt{3}}{3}\end{eqnarray}$

(2)は少し厄介でしたね。 $x+yi$ とおく解答も各予備校用意していました（河合塾はむしろそっちだけ）。
が、予備校の解答と違う点として、方程式の解であるための必要十分条件として $|z|-2$ を先に求めたため、場合分けを減らすことに成功していました。
偶然とはいえ、嬉しいものですね。

残り3題もまとめていきたいと思っています。

2018-03-01

2018年北海道大学理系数学大問1

大学入試問題数Ｂ数学

地元の大学を。

2018年北海道大学理系数学大問1
座標空間の4点に対し、
　　　　
とおく。ただし、は原点、は実数とする
(1)と内積をで表せ。
(2)のとき、ベクトルとのなす角がとなるようなの値を求めよ。
(3)とが実数をうごくときの最小値を求めよ。

各予備校の判断も易だった、易しめの問題です。北大はこのような基礎を問う問題が出題されるのでぜひ押さえておきたい問題です。

(考察)
あまり考察することもないですが、計算量はまぁまぁあるので丁寧に計算しましょう。
内積は、 $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$ と成分表示の2パターンの求め方ができることは必ず押さえましょう
ベクトルの大きさは2乗するとルートが外れたり内積が登場したりして扱いやすくなります。

(解答)
(1)
$\begin{eqnarray} \overrightarrow{p}&=&(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\\ &=&(1-t)(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0)+t(0,0,1)\\ &=&(-\frac{\sqrt{3}(1-t)}{2},\frac{1-t}{2},t) \end{eqnarray}$
より、
$\begin{eqnarray}|\overrightarrow{p}|^2&=&\{-\frac{\sqrt{3}(1-t)}{2}\}^2+(\frac{1-t}{2})^2+t^2\\ &=&\frac{3}{4}(1-t)^2+\frac{(1-t)^2}{4}+t^2\\ &=&2t^2-2t+1 \end{eqnarray}$
よって
$|\overrightarrow{p}|=\sqrt{2t^2-2t+1}$

$\begin{eqnarray} \overrightarrow{q}&=&(1-s)\overrightarrow{OC}+s\overrightarrow{OD}\\ &=&(1-s)(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},-1)+s(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},-1)\\ &=&(s-\frac{1}{2},\sqrt{3}(s-\frac{1}{2}),-1) \end{eqnarray}$
より、同様にして
$|\overrightarrow{q}|=\sqrt{4s^2-4s+2}$

$\begin{eqnarray} \overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}&=&(-\frac{\sqrt{3}(1-t)}{2},\frac{1-t}{2},t)\cdot(s-\frac{1}{2},\sqrt{3}(s-\frac{1}{2}),-1)\\ &=&-\frac{\sqrt{3}(1-t)}{2}(s-\frac{1}{2})+\frac{1-t}{2}\sqrt{3}(s-\frac{1}{2})+t\cdot(-1)\\ &=&-t \end{eqnarray}$

(2)
$\cos\frac{3}{4}\pi=\frac{\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{p}||\overrightarrow{q}|}$ だから $t=\frac{1}{2}$ より
$\begin{eqnarray}-\frac{\sqrt{2}}{2}&=&\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{2\cdot(\frac{1}{2})^2-2\cdot\frac{1}{2}+1}\sqrt{4s^2-4s+2}}\\ \sqrt{4s^2-4s+2}&=&1\\ 4s^2-4s+2&=&1\\ 4s^2-4s+1&=&0\\ (2s-1)^2&=&0\\ s&=&\frac{1}{2} \end{eqnarray}$

(3)
$\begin{eqnarray}|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}|^2&=&|\overrightarrow{p}|^2-2\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}+|\overrightarrow{q}|^2\\ &=&2t^2-2t+1-2(-t)+4s^2-4s+2\\ &=&2t^2+(2s-1)^2+2\end{eqnarray}$
より、
$t=0,s=\frac{1}{2}$ のときに最小値 $\sqrt{2}$

(1)で求めた値が間違っていると雪崩式に失点することになるので注意！
(2)と(3)がほとんど関係ないのが残念な感じの問題ですね。これなら(2)いらない...
(3)は予選決勝法かと思いきや、独立して2乗の項が作れたので面白みのない感じになってしまいましたね。
北大らしい良い意味でも悪い意味でも外してくる問題でした。

2018-02-27

2018年東京大学理系数学大問1

大学入試問題数Ⅲ 数学

今年も易しめの問題が多かったようですね。後半は難しいらしいですが。

2018年東京大学理系数学大問1
関数　　
の増減表を作りのときの極限を調べよ

う～ん、どうしたものか、東大よ...

(考察)
導関数が厄介な形になりますがうまく変形していきましょう。慣れです。

(解答)
$\begin{eqnarray} f'(x)&=&\frac{\sin x-x\cos x}{\sin ^2x}-\sin x\\ &=&\frac{\sin x-x\cos x-\sin ^3x}{\sin ^2x}\\ &=&\frac{\sin x(1-\sin ^2x)-x\cos x}{\sin ^2x}\\ &=&\frac{\sin x \cos ^2x-x\cos x}{\sin^2x}\\ &=&\frac{\cos x}{\sin^2x}(\frac{1}{2}\sin 2x-x) \end{eqnarray}$