2018年北海道大学理系数学大問2
僕の苦手な複素数平面。
2018年北海道大学理系数学大問2 が実数となるようなと異なる複素数の全体をとする。 (1)を複素数平面上に図示せよ。 (2)を実数とする。に属するで方程式 を満たすものが存在するようなの値の範囲を求めよ。ただしは虚数単位を表す。
(考察)
ポイントとなる考え方は、
が実数
が純虚数
これはのようにおいて確認してみればすぐにわかります。
そして、複素数平面で重要なポイントとして、複素数をどのように表現するかがポイントになります
1.をそのまま扱う
2.とおく
3.:実数とおく
僕は上から順に試していくことにしています。は最終手段。計算が煩雑になることが多い気がします。
今回は2を利用しました。
では、そんな感じで、進めていきます
(解答)
(1)
が実数
つまり
よって
は実軸上または中心で半径の円周上。ただしは除く
(2)
より、方程式の左辺は実数になるので、右辺も実数。つまり、は純虚数。
よって
よっては純虚数またはを満たす複素数。
であることを考慮すると
が問題の方程式の解である
このとき、であるから、問題の方程式は
と書き換えられる。
ここで、よりは
とおけるので方程式に代入すると
よって
… | … | … | |||||
↓ | ↑ | ↓ |
よって
(2)は少し厄介でしたね。とおく解答も各予備校用意していました(河合塾はむしろそっちだけ)。
が、予備校の解答と違う点として、方程式の解であるための必要十分条件としてを先に求めたため、場合分けを減らすことに成功していました。
偶然とはいえ、嬉しいものですね。
残り3題もまとめていきたいと思っています。