2018年一橋大学文系数学大問1

一橋大も易化しましたね。最近は難関大が易化傾向にあるようで...

2018年一橋大学文系数学大問1
正の整数の各位の和をで表す。たとえば
　　　　
である。
(1)のとき、不等式を示せ。
(2)を満たすを求めよ。

誘導がありがたい問題ですね。桁数が4桁に絞られるので扱いやすくなります。
一橋大の整数、このパターン多いのかも？

(考察)
(1) $S(n)$ の値は桁数に応じて変化しますが、上からも下からも押さえることができるので、うまく不等式の関係を使えそうですね。とりあえず、帰納法が良いのでは。
(2)(1)の主張から $n$ は4桁以下であることが分かりますから、あとは整数問題として解きましょう。うまく範囲を絞っていけば簡単簡単。

(解答)
(1)
$n \ge 10000$ のとき、 $n$ は5桁以上であるから、 $n$ を $k(\ge 5)$ 桁とすると
$S(n)$ の最大値は、 $9$ が $k$ 個連なった時の $9k$ 、最小値は最高位が $1$ で残りが $0$ の時の $1$ だから
　　　　 $1 \le S(n) \le 9k$
また、 $n$ が $k$ 桁の時
　　　　 $10^{k-1} \le n < 10^k$
である。
よって、不等式 $n>30S(n)+2018$ を示すには
　　　　 $10^{k-1} > 30 \cdot 9k +2018$ 　　 $(k \ge 5)$
を示せば十分。
以下、この不等式を数学的帰納法で示す。
$f(k)=10^{k-1}-270k-2018$ とおく
(i) $k=5$ のとき
　 $f(5)=10^4-1350-2018=6632>0$
　よって、適。

(ii) $f(k)>0$ と仮定、つまり $10^{k-1} > 270k +2018$ とするとき
　 $\begin{eqnarray} f(k+1)&=&10^k-270(k+1)-2018\\ &=&10 \cdot 10^{k-1}-270k-270-2018\\ &>&10(270k+2018)-270k-270-2018\\ &=&2430k+17892\\ &>&17892>0\end{eqnarray}$
　となり、 $f(k+1)>0$ となる

(i)(ii)より $(k \ge 5)$ のとき $10^{k-1} > 30 \cdot 9k +2018$ であることが示され、 $n \ge 10000$ のとき、 $n>30S(n)+2018$ であることが示された。

(2)
(1)より $n$ が5桁以上であるとき等号は成立しない。よって $n$ は4桁以下であるから
　　　　 $n=1000a+100b+10c+d$ 　　 $(a,b,c,d$ は $0$ 以上の $1$ 桁の整数 $)$
と表せる。
このとき、 $S(n)=a+b+c+d$ だから、与えられた方程式は
　　　　 $\begin{eqnarray}1000a+100b+10c+d&=&30(a+b+c+d)+2018\\ 970a+70b-20c-29d&=&2018\end{eqnarray}$
となる。
ここで、 $970a=2018-(70b-20c-29d)$ であるから $a$ について絞り込みを行う。
$70\cdot 0-20\cdot 9-29\cdot 9 \le 70b-20c-29d \le 70 \cdot 9-20\cdot 0-29\cdot 0$
つまり
$-441 \le 70b-20c-29d \le 630$
よって
$2018-630 \le 970a \le 2018+441$
つまり
$1388 \le 970a \le 2459$
である。
これを満たす $a$ は $a=2$ のみ。

よって方程式は
　　　　 $\begin{eqnarray}1940+70b-20c-29d&=&2018\\ 70b-20c-29d&=&78\end{eqnarray}$
となる。
ここで、 $10(7b-2c)=29d+78$ であるから、 $29d+78$ は $10$ の倍数。
一の位が $0$ になることを考えると、 $d=8$ のみであることがわかる。
よって、方程式は
　　　　 $\begin{eqnarray}10(7b-2c)&=&310\\ 7b-2c&=&31\\ 7b&=&2c+31\end{eqnarray}$
となる。
$2\cdot 0 +31\le 2c+31 \le 2\cdot 9+31$
つまり
$31 \le 7b \le 49$
だから
$b=5,6,7$