2018年東北大学理系数学大問4

お久しぶりです。もう2019年の入試が始まってしまいましたね。大変お待たせしました

2018年東北大学理系数学大問4
三角形の内接円の半径を、外接円の半径をとし、とする。また、、、とおく。
(1)となることを示せ。
(2)三角形が直角三角形のときが成り立つことを示せ。また、等号が成り立つのはどのような場合か。
(3)一般の三角形に対してが成り立つことを示せ。また、等号が成り立つのはどのような場合か。

(1)は計算が煩雑になるので冷静に。本番で捨てた人も結構いると思うので、そこまで合否を分ける問題ではなかったと思います。一応有名な定理ではあるので知っていればパパッとこなせるかもしれませんが、分からなければ本番は粘着しないほうが良いかと思います。それよりかは、どうせ(1)の式を使って(2)(3)を解くのでしょうから、先にそっちを解いちゃうのも手かもしれません。

(考察1)
内接円の半径、外接円の半径を使う定理を考えて組み合わせることを考えてみましょう。前者は三角形の面積公式2種類、後者は正弦定理を十分でしょう。これを組み合わせると $\alpha,\beta,\gamma$ の3文字の関係式が出来上がり、上手くいきそうです。
　さらにポイントとなるのはここから1文字消去できるということです。今回は三角形の内角についての話なので $2\alpha+2\beta+2\gamma=\pi$ という関係式を利用することでさらに1文字消去でき、計算がしやすくなります。

(解答)
(1)
三角形 $\mathrm{ABC}$ において $\angle\mathrm{A},\angle\mathrm{B},\angle\mathrm{C}$ の対辺をそれぞれ $a,b,c$ とおく。この三角形の面積を $S$ とすると、
　　　　　 $\begin{eqnarray}S &=&\frac{1}{2}bc\sin{2\alpha}\\ &=&\frac{1}{2}(a+b+c)r\end{eqnarray}$
よって
　　　　　 $\begin{eqnarray}r=\frac{bc\sin{2\alpha}}{a+b+c}\end{eqnarray}$ …①

また、正弦定理より
　　　　　 $\begin{eqnarray}\frac{a}{\sin{2\alpha}}=\frac{b}{\sin{2\beta}}=\frac{c}{\sin{2\gamma}}=2R\end{eqnarray}$
だから
　　　　　 $a=2R\sin{2\alpha},b=2R\sin{2\beta},c=2R\sin{2\gamma}$
これを①に代入すると

　　　　　 $\begin{eqnarray}r &=&\frac{2R\sin{2\beta}2R\sin{2\gamma}\sin{2\alpha}}{2R\sin{2\alpha}+2R\sin{2\beta}+2R\sin{2\gamma}}\\ &=&\frac{2R\sin{2\alpha}\sin{2\beta}\sin{2\gamma}}{\sin{2\alpha}+\sin{2\beta}+\sin{2\gamma}}\\ \frac{r}{R}&=&\frac{2\sin{2\alpha}\sin{2\beta}\sin{2\gamma}}{\sin{2\alpha}+\sin{2\beta}+\sin{2\gamma}}\\ &=&4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\frac{4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}{\sin{2\alpha}+\sin{2\beta}+\sin{2\gamma}} \end{eqnarray}$

よって $\begin{eqnarray}\frac{4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}{\sin{2\alpha}+\sin{2\beta}+\sin{2\gamma}}=1\end{eqnarray}$ を示せばよい

(考察2)
とりあえず問題文に書いてある式を強引に作り出して、上のような議論に持ち込んでみます。
考察1で考えたように $2\alpha+2\beta+2\gamma=\pi$ の関係式を考えると
　　　　　 $\sin{2\gamma}=\sin\{\pi-(2\alpha+2\beta)\}=\sin(2\alpha+2\beta)$
が得られます。ここで右辺は二倍角が使えそうなので使ってみると $2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha+\beta)$ となります。なんか和積の公式っぽい形ですね...（強引）
残っている $\sin{2\alpha}+\sin{2\beta}$ に和積を使ってあげると $\sin(\alpha+\beta)$ が出てきて上手くいきそう...

(解答続き)
$\sin{2\gamma}=\sin\{\pi-(2\alpha+2\beta)\}=\sin(2\alpha+2\beta)$ に注意すると
　　　　　 $\begin{eqnarray}\sin{2\alpha}+\sin{2\beta}+\sin{2\gamma} &=&\sin{2\alpha}+\sin{2\beta}+\sin(2\alpha+2\beta)\\ &=&2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+\sin2(\alpha+\beta)\\ &=&2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha+\beta)\\ &=&2\sin(\alpha+\beta)\{\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\}\\ &=&2\sin(\frac{\pi}{2}-\gamma)\cdot{2}\cos\alpha\cos\beta\\ &=&4\cos\gamma\cos\alpha\cos\beta \end{eqnarray}$
よって
　　　　　 $\begin{eqnarray}\frac{r}{R}&=&4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\frac{4\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}{\sin{2\alpha}+\sin{2\beta}+\sin{2\gamma}}\\ &=&4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\cdot{1}\\ &=&4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma\end{eqnarray}$

(考察2)
というわけで関係式及び和積を使いまくる計算問題でした。割と良い計算練習だと思います。本番で出たら萎えるけど。

(2)とりあえず適当に $\angle\mathrm{C}=\frac{\pi}{2}$ とでもしましょう。このとき $\alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$ です。これこのまま代入できたら良いなぁ...と思いつつ。
ただ、微分をしてしまうとこれ形がかなり厄介になるので避けたい...というわけでまた和積の登場です

(解答続き)
(2)
$2\gamma=\frac{\pi}{2}$ としてよい。このとき $\alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$

　　　　　 $\begin{eqnarray}h &=&2\sqrt{2}\sin\alpha\sin\beta\\ &=&-\sqrt{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}\\ &=&-\sqrt{2}\{\cos\frac{\pi}{4}-\cos(\alpha-\beta)\}\\ &=&-1+\sqrt{2}\cos(\alpha-\beta)\\ &\leqq&-1+\sqrt{2}\cdot{1}\\ &=&\sqrt{2}-1\end{eqnarray}$

等号成立は $\alpha-\beta=0$ すなわち $\alpha=\beta=\frac{\pi}{8}$ のとき

(考察3)
(3)ここまでくればもうお分かりかと思いますが、やっぱり関係式＋和積で解決しそうです。
ただ、今回得られている関係式は和です。差についての関係式は持っていないのでそこをどうにか解決させたいところです。
今回は $\cos(\alpha-\beta)$ が登場しますが、これを思い切って $\cos(\alpha-\beta)\leqq{1}$ としてしまうと、すんなり話が進みます

(解答続き)
(3)
$\alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}$ より $\sin\gamma=\cos(\alpha+\beta)$ 。ただし $\begin{eqnarray}0<\alpha+\beta<\frac{\pi}{2}\end{eqnarray}$ である

　　　　　 $\begin{eqnarray}h &=&4\sin\alpha\sin\beta\cos(\alpha+\beta)\\ &=&-2\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}\cos(\alpha+\beta)\\ &=&2\{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\}\cos(\alpha+\beta)\\ &\leqq&2\{1-\cos(\alpha+\beta)\}\cos(\alpha+\beta)\\ &=&-2\{\cos(\alpha+\beta)-\frac{1}{2}\}^2+\frac{1}{2}\\ &\leqq&\frac{1}{2} \end{eqnarray}$

等号成立は $\begin{eqnarray}\cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}\end{eqnarray}$ かつ $\cos(\alpha-\beta)=1$
$\alpha+\beta$ の範囲から、 $\begin{eqnarray}\cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}\end{eqnarray}$ とは $\begin{eqnarray}\alpha+\beta=\frac{\pi}{3}\end{eqnarray}$
$0<\alpha<\pi,0<\beta<\pi$ より $-\pi<\alpha-\beta<\pi$ だから、 $\cos(\alpha-\beta)=1$ とは $\alpha-\beta=0$
これらを解くと、 $\begin{eqnarray}\alpha=\beta=\gamma=\frac{\pi}{6}\end{eqnarray}$
このとき、等号が成立する