2018年東京大学理系数学大問1

大学入試問題 数Ⅲ 数学

今年も易しめの問題が多かったようですね。後半は難しいらしいですが。

2018年東京大学理系数学大問1
関数f(x)=\frac{x}{\sin x}+\cos x　　{(}0<{x}<\pi)
の増減表を作りx\to +0,x\to\pi-0のときの極限を調べよ

う～ん、どうしたものか、東大よ...

(考察)
導関数が厄介な形になりますがうまく変形していきましょう。慣れです。

(解答)
\begin{eqnarray} f'(x)&=&\frac{\sin x-x\cos x}{\sin ^2x}-\sin x\\ &=&\frac{\sin x-x\cos x-\sin ^3x}{\sin ^2x}\\ &=&\frac{\sin x(1-\sin ^2x)-x\cos x}{\sin ^2x}\\ &=&\frac{\sin x \cos ^2x-x\cos x}{\sin^2x}\\ &=&\frac{\cos x}{\sin^2x}(\frac{1}{2}\sin 2x-x) \end{eqnarray}

g(x)=\frac{1}{2}\sin 2x-xとすると
g'(x)=\cos 2x-1<0よりg(x)は0<{x}<\piで単調減少だから
（g'(0)=0より）g(x)<0

よってf'(x)=0\Leftrightarrow \cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}

増減表は

x {(}0) … \frac{\pi}{2} … {(}\pi)
f' - 0 +
f ↓ \frac{\pi}{2} ↑

極限を考える。
\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} =1を用いて

\displaystyle \lim_{x \to +0} {(}\frac{x}{\sin x} + \cos x{)}=1+1=2

\displaystyle \lim_{x \to \pi-0} {(}\frac{x}{\sin x} + \cos x{)} = (\frac{\pi}{0} -1) =+\infty

(追記　2018/2/28)
最後の式変形間違えていました。修正しました