2018年東北大学理系数学大問5

さすがに東北大志望の方はもう解き終わったかと思いますが...本試験までに走り切ります。

2018年東北大学理系数学大問5
を複素数とする。複素数の方程式
　　　　　…①
について、以下の問いに答えよ。ただし、は虚数単位である。
(1)方程式①が実数解をもつようにが動く時、点が複素数平面上に描く図形を図示せよ。
(2)方程式①が絶対値の複素数を解にもつようにが動くとする。
原点を中心にを回転させた点を表す複素数をとするとき、点が複素数平面上に描く図形を図示せよ。

(考察)
(1)複素数平面の基本的アイデアは2018年北大理系数学大問2をご参照ください。
実数解じゃん！判別式でしょ～～と思った方はお気を付けください。判別式は実数係数の方程式の時のみ有効です。
さて今回は、気付けば簡単だけど、なかなか気付きづらい問題になっています。
まず、 $\alpha$ が何かしらの図形の式の形を取って出てきてくれれば非常に助かります。 $|\alpha-a|=r$ （円）とか $|\alpha-a|=|\alpha-b|$ （垂直二等分線）とか。
で、試行錯誤してもたぶん良い形にならないんじゃないかな...？そこで、最終手段である $\alpha=x+yi$ を登場させましょう。これですべて実数の話に持ち込んで図形の方程式を得られれば万事解決です。まぁこの代入はギリギリまで取っておくとして...
次に、①が実数解をもつという条件をどう使おうか悩むわけです。
受験数学の大原則「解は代入」をここで使っちゃいましょう。何か実数解を $t$ とでも置いて代入してみると...これ、 $\alpha=x+yi$ の形にできそうですよね...？文字定数分離的なノリで。。。

(解答)
(1)
①の実数解を $t$ とおく。①に代入すると

　　　　　 $t^2-\alpha{t}+2i=0$ …②

ここで、②に $t=0$ を代入すると $2i=0$ となり不合理。
よって $t\neq{0}$ となり、②を両辺 $t$ で割って整理すると

　　　　　 $\begin{eqnarray}\alpha=t+\frac{2}{t}i\end{eqnarray}$

ここで $\alpha=x+yi(x,y:$ 実数 $)$ とすると

　　　　　 $\begin{eqnarray}x+yi=t+\frac{2}{t}i\end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray}x,y,t,\frac{2}{t}\end{eqnarray}$ はすべて実数であるから、実部と虚部を比較して

　　　　　 $\begin{eqnarray}x=t,y=\frac{2}{t}\end{eqnarray}$

すなわち $\begin{eqnarray}y=\frac{2}{x}\end{eqnarray}$ が得られる。図示すると以下の通り
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(考察2)
(2)(1)に続いてきっとまたうまく整理できないパターンだろうと予測してあげられるとよいですね。グッチャグチャにして最後整理するときれいになる感じの問題だとよいなぁ、、という希望をもって、 $z=\cos\theta+i\sin\theta(0\leqq\theta<2\pi)$ と置いてみましょう。 $\beta$ は先ほどの $\alpha$ と同様ですね

(解答続き)
(2)
$z=\cos\theta+i\sin\theta(0\leqq\theta<2\pi)$ とおく。このとき $z\neq{0}$ で $|z|^2=z\overline{z}=1$ より

　　　　　 $\begin{eqnarray}z-\alpha+\frac{2i}{z}&=&0\\ \alpha&=&z+2i\overline{z}\\ &=&(\cos\theta+i\sin\theta)+2i(\cos\theta-i\sin\theta)\\ &=&(\cos\theta+2\sin\theta)+i(2\cos\theta+\sin\theta) \end{eqnarray}$

ここで、 $\beta$ は原点を中心に $\alpha$ を $\begin{eqnarray}\frac{\pi}{4}\end{eqnarray}$ 回転させた点を表す複素数だから

　　　　　 $\begin{eqnarray}\beta&=&\alpha(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4})\\ &=&\{(\cos\theta+2\sin\theta)+i(2\cos\theta+\sin\theta)\}(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})\\ &=&\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\theta-\cos\theta)+i\frac{3\sqrt{2}}{2}(\sin\theta+\cos\theta) \end{eqnarray}$

よって、 $\beta=x+yi$ とおくと

　　　　　 $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\theta-\cos\theta) \\ y=\frac{3\sqrt{2}}{2}(\sin\theta+\cos\theta) \end{array} \right. \end{eqnarray}$

このとき

　　　　　 $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^2=\frac{1}{2}(1-2\sin\theta\cos\theta) \\ (\frac{1}{3}y)^2=\frac{1}{2}(1+2\sin\theta\cos\theta) \end{array} \right. \end{eqnarray}$

だから $\begin{eqnarray}x^2+\frac{y^2}{3^2}=1\end{eqnarray}$ が得られる。
ここで

　　　　　 $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=\sin(\theta-\frac{\pi}{4}) \\ y=3\sin(\theta+\frac{\pi}{4}) \end{array} \right. \end{eqnarray}$

だから $\theta$ が $0\leqq\theta<2\pi$ を動くとき、 $-1\leqq{x}\leqq{1},-3\leqq{y}\leqq{3}$
よって図示すると以下の通り。
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(別解)
　　　　　 $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x=\sin(\theta-\frac{\pi}{4}) \\ y=3\sin(\theta+\frac{\pi}{4}) \end{array} \right. \end{eqnarray}$

であるが、

　　　　　 $\begin{eqnarray}x&=&\sin\{(\theta+\frac{\pi}{4})-\frac{\pi}{2}\}\\ &=&-\cos(\theta+\frac{\pi}{4})\end{eqnarray}$