2018-02-27

2018年東京工業大学数学大問2

またまた整数。どうしても整数から解いてしまう癖がありますね。

2018年東京工業大学数学大問2
次の問いに答えよ
(1)を満たす整数の組を一組求めよ
(2)を満たす整数の組の中での値が最小となるもの、およびその最小値を求めよ

個人的にかなり好きな問題です。
良問なので、考察を挟みながら回答を仕上げていきます。

(考察1)
整数解が求まりづらい不定方程式は、ユークリッドの互除法を用いることが多いですね。
しかし、いつもは2変数。今回は3変数なのでさてどうしよう。
そこでよ～く、方程式を眺めてみると...係数が...
$x,y$ については7で、 $y,z$ については13で、 $z,x$ については5で括れますね。
2変数をまとめて1変数にしてしまえば3変数の方程式が2変数の方程式になるわけです！やったね！
今回は7で括りたいと思います。なぜかというと、(2)で、 $x^2+y^2$ についての話になるので、この2つをまとめておきたいと思ったからです。5で括っても13で括ってもうまくいきます。

(解答)
(1)
$\begin{eqnarray} 35x+91y+65z&=&3\\ 7(5x+13y)+65z&=&3 \end{eqnarray}$
ここで、 $5x+13y=a$ とおくと
$7a+65z=3$
(ユークリッドの互除法などを使って)この方程式の整数解の1つは $(a,z)=(19,-2)$
$a=5x+13y=19$ を解くと、例えば $(x,y)=(-4,3)$ などが得られる。
よって
$(x,y,z)=(-4,3,-2)$ （など）

(考察2)
さぁ、ここからです。
(1)を踏まえてどのように解答を作っていくのかを考えてみます。
まず、 $(5x+13y,z)$ を求めることができ、そこから $(x,y)$ も求められます。
ということは、もしかして変数をいくつか使えば一般解が得られるかも？？と想像がついたら勝負ありです。

(解答続き)
(2)
$5x+13y=a$ とおく。
$7a+65z=3$ の整数解の一つは $(a,z)=(19,-2)$ だったから、いつもの不定方程式と同じように引き算してあげれば
$7(a-19)+65(z+2)=0$ が得られ、 $m$ を整数として $(a,z)=(65m+19,-7m-2)$ が得られる

次に、 $a=5x+13y=65m+19$ を解く。

(考察3)
また3変数 $(x,y,m)$ の不定方程式が出てきてしまいましたが、13で括れますね。
ここから(1)とのつながりが見え始めます。

(解答続き)
$\begin{eqnarray} 5x+13y&=&65m+19\\ 5x+13(y-5m)&=&19\\ \end{eqnarray}$
(1)から整数解の1つとして $(x,y-5m)=(-4,3)$ などが得られるので、上と同様に
$5(x+4)+13(y-5m-3)=0$ が得られ、 $n$ を整数として $(x,y)=(13n-4,-5n+5m+3)$ が得られる。

故にこの方程式の一般解は
$(x,y,z)=(13n-4,-5n+5m+3,-7m-2)$

(考察4)
さぁ、一般解が得られました。
ですが、ここで $x^2+y^2$ に代入！としてしまっては面倒なことに...（出来ないことはないかも）
$x^2+y^2$ を小さくするためにはどうすればよいでしょう。
そもそも $x^2$ を小さくするためには...？
お判りでしょうか、絶対値を小さくしてあげればよいですね。
$|x|,|y|$ を小さくするように $(m,n)$ を定めてあげれば、完成です。
今回は（結果論ですが） $|x|,|y|$ を同時に小さくすることが可能になってくれているので
(i) $|x|$ の最小化
(ii) $|y|$ の最小化
を分けて考えた方が解答を仕上げやすいと思います。

(解答続き)
$x^2+y^2$ を最小化するには $|x|,|y|$ を最小化することを考えればよい。
(i) $|x|$ を最小化する
　この場合、 $n=0$ として、 $x=-4$ とするとよい。
　このとき、 $y=5m+3$ でこちらは $m=-1$ として $y=-2$ とするとよい。

(ii) $|y|$ を最小化する
　 $y=5(m-n)+3$ だから、 $m-n=-1$ として、 $y=-2$ とするとよい。
　このとき、 $n=m+1$ を代入して $x=13(m+1)-4$ だから、 $m+1=0$ すなわち $m=-1$ とし、 $x=-4$ とするとよい。
　このとき、 $n=0$

以上(i)(ii)より、 $(m,n)=(-1,0)$ とすれば $|x|,|y|$ がともに最小となるため、 $x^2+y^2$ も最小値をとる。
このとき、 $(x,y)=(-4,-2)$ で、最小値は $(-4)^2+(-2)^2=20$

最後が見事ですねぇ～、2変数の絶対値を同時に最小化できたので、東工大の優しさを少し感じられました...
この問題は括り方次第で様々な解法が考えられますし、もっと別な解き方もたくさん存在すると思います。
まぁ、定石通りに解くとこんな感じかな？？

2018-02-27

2018年京都大学理系数学大問2

大学入試問題数Ａ数学

お久しぶりです。生きてます。
入試シーズンですね、入試数学大好きな僕にとっては新作問題が入手できてうれしい時期です。
何問か解いたので、まとめていきます。

2018年京都大学理系数学大問2
が素数となるような整数をすべて求めよ。

難易度としては、旧帝大以下で出題されてもおかしく無い難易度だと思います。流石に京大レベルではない...どうした京大。

(考察1)
求める $n$ が自然数ではなく、整数であることに注意しましょう。負の数でも答えになりうるわけですね。
整数問題に慣れている方は、飛ばしても大丈夫ですが、とりあえず初手としては実験を行うのがよいと思います。

(実験)
$f(n)=n^3-7n+9$ とする。
$f(0)=9$
$f(1)=1-7+9=3$
$f(2)=8-14+9=3$
$f(3)=27-21+9=15$

(考察2)
上の実験から、
「もしかしてこれは3の倍数にしかならないのでは？？？」
と思えた方は、整数問題の力がある程度ついていると思います。または勘の良い方。
もしも、3の倍数にしかならないとしたら、素数としてあり得る値は3しかないですよね。
そして、倍数の判定には合同式が有効でした。
それを踏まえて以下のように解答を仕上げてみます。

(解答1)
$f(n)=n^3-7n+9$ とし、以下、法を3とする。
・ $n\equiv0$ のとき
　 $f(n)\equiv0^3-0+9\equiv0$
・ $n\equiv1$ のとき
　 $f(n)\equiv1^3-7+9=3\equiv0$
・ $n\equiv-1$ のとき
　 $f(n)\equiv(-1)^3+7+9=15\equiv0$

よって任意の整数 $n$ に対して $f(n)$ は3の倍数。

3の倍数のうち素数であるのは3のみ。
$f(n)=3$ を解くと、
$\begin{eqnarray} n^3-7n+9&=&3\\ n^3-7n+6&=&0\\ (n-1)(n-2)(n+3)&=&0\\ n&=&1,2,-3 \end{eqnarray}$

(解答2)
$\begin{eqnarray} n^3-7n+9&=&(n-1)n(n+1)-6n+9\\ &=&(n-1)n(n+1)-3(2n-3) \end{eqnarray}$
連続3整数は3の倍数だから、 $f(n)$ は3の倍数になる
以下、(解答1)と同じ

解答2は、連続3整数が3の倍数であることから、 $n^3$ を強引に作るようにしてあげればうまくいくわけですね。
とはいえ、思いつかなくても合同式を使えば、簡単に確認できますからおすすめですよ！

2017-04-01

引っ越しました

日記つぶやき

アパートに引っ越しました。両親と来て家具とか家電とか設置したりして、新生活！って感じの部屋になりました。明日、両親は帰りますが、18年間親元で暮らしていたので、とても不安です。仕送りがあるとはいえプチ自立ですよね、自立できるかなぁ
大学生活は楽しく過ごすことをモットーに頑張ろうと思っています。勉強だけじゃなくいろんな趣味も極めたいなと考えています。
これからのブログは、
・数学botの解答
・自作問題
・日記
と、いつもと変わらない内容で書いていきたいと思っています。
どちゃ楽bot、不等式botの問題も少し解いてあるので、ブログ掲載の許可を取り次第載せたいです。

友人作問題があるのですが、下書きのまま放置しています。TeX表記が面倒すぎて...wお楽しみに。今度、問題だけでもあげようかと思います。

今日から大学生です、頑張ります。

2017-03-29

けものフレンズ第12話のネタバレを回避するために

つぶやき

ネットが歩けない...

2017-03-24

自作数学問題bot[45]

自作数学問題bot 数Ａ数学

おはようございます。良問生産botの自作数学問題botさんの問題もまとめていきたいと思います。
僕が解けるものでまとめていくのでかなり順番は無視した更新になりますが...

(45)
二つの自然数a、bが、a^2+b(b+1)=504を満たす時、a、bの組み合わせとして考えられるものを全て求めよ。
— 自作数学問題bot (@mathquestionakt) 2017年3月21日

（考察）
整数問題は絞り込みが大事なのでまずは、どうやって絞り込みができるかを考えます
まず $b(b+1)$ に着目すると、これは二連続整数の積なので偶数であることがわかります。すると、右辺が $504$ で偶数ですから $a^2$ も偶数と決まり、 $a$ も偶数と決まります。
とりあえず、ここまで行けば、割と絞り込めるのであとは、虱潰しでいいでしょう。

（解答）
$b(b+1)$ は二連続整数の積なので偶数であるから
$\:\:\:\:a^2=504-($ 偶数 $)$
となり $a^2$ も偶数であり、 $a$ も偶数となる。よって、自然数 $a'$ を用いて $a=2a'$ と表せる。
このとき、与式は
$\begin{eqnarray}\:\:\:\:4a'^2+b(b+1)&=&504\\ b(b+1)&=&504-4a'^2\\ &=&4(126-a'^2)\end{eqnarray}$
となる。
$b,b+1$ は偶奇が異なり、ともに偶数となることはないから、次の2つの場合分けが考えられる。
$\:\:(i)b$ が $4$ の倍数のとき
$\:\:(ii)b+1$ が $4$ の倍数のとき

$b'$ を自然数とする。
$(i)b=4b'$ と表せるとき
与式は
$\begin{eqnarray}\:\:\:\:4b'(4b'+1)&=&4(126-a'^2)\\ b'(4b'+1)&=&126-a'^2\end{eqnarray}$
ここで、左辺は正だから右辺も正であり、 $126-a'^2>0$ で、 $1\leqq{a'}\leqq{11}$ だから
$5\leqq{b'(4b'+1)}\leqq125$

$b'$	$b'(4b'+1)$	$a'^2$	$a'$
1	5	121	11
2	18	108	×
3	39	87	×
4	68	58	×
5	105	21	×
6	162	-34	×

以降 $a'^2<0$ となり不適
よって $(a,b)=(2a',4b')=(22,4)$

$(ii)b+1=4b'$ と表せるとき
与式は
$\begin{eqnarray}\:\:\:\:(4b'-1)4b'&=&4(126-a'^2)\\ b'(4b'-1)&=&126-a'^2\end{eqnarray}$
ここで、左辺は正だから右辺も正であり、 $126-a'^2>0$ で、 $1\leqq{a'}\leqq{11}$ だから
$5\leqq{b'(4b'-1)}\leqq125$