k^n(n:自然数)

思いのままに書き綴ります

自作数学問題bot[45]

おはようございます。良問生産botの自作数学問題botさんの問題もまとめていきたいと思います。
僕が解けるものでまとめていくのでかなり順番は無視した更新になりますが...

(考察)
整数問題は絞り込みが大事なのでまずは、どうやって絞り込みができるかを考えます
まずb(b+1)に着目すると、これは二連続整数の積なので偶数であることがわかります。すると、右辺が504で偶数ですからa^2も偶数と決まり、aも偶数と決まります。
とりあえず、ここまで行けば、割と絞り込めるのであとは、虱潰しでいいでしょう。


(解答)
b(b+1)は二連続整数の積なので偶数であるから
\:\:\:\:a^2=504-(偶数)
となりa^2も偶数であり、aも偶数となる。よって、自然数a'を用いてa=2a'と表せる。
このとき、与式は
\begin{eqnarray}\:\:\:\:4a'^2+b(b+1)&=&504\\
b(b+1)&=&504-4a'^2\\
&=&4(126-a'^2)\end{eqnarray}
となる。
b,b+1は偶奇が異なり、ともに偶数となることはないから、次の2つの場合分けが考えられる。
\:\:(i)b4の倍数のとき
\:\:(ii)b+14の倍数のとき

b'自然数とする。
(i)b=4b'と表せるとき
与式は
\begin{eqnarray}\:\:\:\:4b'(4b'+1)&=&4(126-a'^2)\\
b'(4b'+1)&=&126-a'^2\end{eqnarray}
ここで、左辺は正だから右辺も正であり、126-a'^2>0で、1\leqq{a'}\leqq{11}だから
5\leqq{b'(4b'+1)}\leqq125

b' b'(4b'+1) a'^2 a'
1 5 121 11
2 18 108 ×
3 39 87 ×
4 68 58 ×
5 105 21 ×
6 162 -34 ×

以降a'^2<0となり不適
よって(a,b)=(2a',4b')=(22,4)

(ii)b+1=4b'と表せるとき
与式は
\begin{eqnarray}\:\:\:\:(4b'-1)4b'&=&4(126-a'^2)\\
b'(4b'-1)&=&126-a'^2\end{eqnarray}
ここで、左辺は正だから右辺も正であり、126-a'^2>0で、1\leqq{a'}\leqq{11}だから
5\leqq{b'(4b'-1)}\leqq125

b' b'(4b'-1) a'^2 a'
1 3 123 ×
2 14 112 ×
3 33 90 ×
4 60 58 ×
5 95 31 ×
6 138 -12 ×

以降a'^2<0となり不適
よって解なし

(i)(ii)より(a,b)=(22,4)


北大、東北大あたりが出してきそうな問題ですね