2016年京都大学文系数学大問3

n進法が出題されました

2016年京都大学文系数学大問3
を以上の自然数とする。数がすべて進法で表記されているとしてが成り立っている。このときはいくつか。十進法で答えよ。

(考察)
n進法が理解出来ていればあとは単なる整数問題(整数問題しか記事にしてない気がする)。できるだけ実験を減らしたいところ。文字が左辺には指数、右辺には普通に置かれているので明らかに左辺が大きくなっていくのでそのポイントを発見できれば絞りこめる。左辺の計算は楽なので右辺の計算を楽にすれば全体として楽になりそう。

(解答)
与式を $n$ 進法表記を $10$ 進法に直すと $2^{n+2}=n^3+3n^2+3n+1$ となる
つまり $2^{n+2}=(n+1)^3$ となる
左辺の素因数は明らかに $2$ のみだから右辺の $n+1$ は自然数 $a$ を用いて $n+1=2^a$ と表される $\cdots$ ＊
ここで $n\geqq9$ のとき $2^{n+2}>(n+1)^3\cdots$ ☆となることを数学的帰納法で示す
(i) $n=9$ のとき
$(左辺)=2^{11}=2048,(右辺)=10^3=1000$ となり☆は成立
(ii) $n=k(\geqq9)$ のとき☆の成立、つまり $2^{k+2}>(k+1)^3$ を仮定すると
$\begin{eqnarray}2^{(k+1)+2}-\{(k+1)+1\}^3&=&2\cdot2^{k+2}-(k+2)^3\\&>&2(k+1)^3-(k+2)^3(∵仮定)\\&=&2k^3+6k^2+6k+2-k^3-6k^2-12k-8\\&=&k^3-6k-6\end{eqnarray}$
また
$\begin{eqnarray}k^3-6k-6&>&k^3-6k-9\\&=&(k-3)(k^2+3k+3)\\&=&(k+3)\{(k+\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}\}>0(∵k\geqq9)\end{eqnarray}$
故に
$2^{(k+1)+1}-\{(k+1)+1\}^3>0$ つまり
$2^{(k+1)+1}>\{(k+1)+1\}^3$ となり $n=k+1$ のときも☆は成立
(i)(ii)より $9$ 以上のすべての整数 $n$ で☆は成立
よって＊は $n\geqq9$ に対して解を持たない
つまり＊の解は $4\leqq{n}\leqq8$ の範囲にあるから $5\leqq{n+1}\leqq9$
この範囲で $n+1$ が $2^a$ で表されるものは $n+1=8$ のみ
$n=7$ を確かめると
$(左辺)=2^{7+2}=512,(右辺)=(7+1)^3=512$ となり $n=7$ は＊の解である

以上より求める $n$ は $7$

微分したくなかったので慣れない不等式評価をしてみました。もっといいやり方あったら教えてください。