自作数学問題bot[45] - k^n(n:自然数)

おはようございます。良問生産botの自作数学問題botさんの問題もまとめていきたいと思います。
僕が解けるものでまとめていくのでかなり順番は無視した更新になりますが...

(45)
二つの自然数a、bが、a^2+b(b+1)=504を満たす時、a、bの組み合わせとして考えられるものを全て求めよ。
— 自作数学問題bot (@mathquestionakt) 2017年3月21日

（考察）
整数問題は絞り込みが大事なのでまずは、どうやって絞り込みができるかを考えます
まず $b(b+1)$ に着目すると、これは二連続整数の積なので偶数であることがわかります。すると、右辺が $504$ で偶数ですから $a^2$ も偶数と決まり、 $a$ も偶数と決まります。
とりあえず、ここまで行けば、割と絞り込めるのであとは、虱潰しでいいでしょう。

（解答）
$b(b+1)$ は二連続整数の積なので偶数であるから
$\:\:\:\:a^2=504-($ 偶数 $)$
となり $a^2$ も偶数であり、 $a$ も偶数となる。よって、自然数 $a'$ を用いて $a=2a'$ と表せる。
このとき、与式は
$\begin{eqnarray}\:\:\:\:4a'^2+b(b+1)&=&504\\ b(b+1)&=&504-4a'^2\\ &=&4(126-a'^2)\end{eqnarray}$
となる。
$b,b+1$ は偶奇が異なり、ともに偶数となることはないから、次の2つの場合分けが考えられる。
$\:\:(i)b$ が $4$ の倍数のとき
$\:\:(ii)b+1$ が $4$ の倍数のとき

$b'$ を自然数とする。
$(i)b=4b'$ と表せるとき
与式は
$\begin{eqnarray}\:\:\:\:4b'(4b'+1)&=&4(126-a'^2)\\ b'(4b'+1)&=&126-a'^2\end{eqnarray}$
ここで、左辺は正だから右辺も正であり、 $126-a'^2>0$ で、 $1\leqq{a'}\leqq{11}$ だから
$5\leqq{b'(4b'+1)}\leqq125$

$b'$	$b'(4b'+1)$	$a'^2$	$a'$
1	5	121	11
2	18	108	×
3	39	87	×
4	68	58	×
5	105	21	×
6	162	-34	×

以降 $a'^2<0$ となり不適
よって $(a,b)=(2a',4b')=(22,4)$

$(ii)b+1=4b'$ と表せるとき
与式は
$\begin{eqnarray}\:\:\:\:(4b'-1)4b'&=&4(126-a'^2)\\ b'(4b'-1)&=&126-a'^2\end{eqnarray}$
ここで、左辺は正だから右辺も正であり、 $126-a'^2>0$ で、 $1\leqq{a'}\leqq{11}$ だから
$5\leqq{b'(4b'-1)}\leqq125$