2018年東北大学理系数学大問3
整数です。好き。
2018年東北大学理系数学大問3 整数は等式 …① を満たしているとする。 (1)はともに正となることを示せ。 (2)ならば、は偶数であることを示せ。 (3)①を満たす整数の組をすべてあげよ。
誘導が丁寧ですね
(考察)
(1)直接示していくか、背理法で示していくか。個人的には背理法のほうがやりやすいかなと思いますが、これは人それぞれだと思います。
(2)合同式が思いつくと瞬殺できそう。がの偶奇をテーマにしているのでとかの形が出てきたら都合がよさそうですね。うまく法を考えてあげるとが見つかります。
(3)これまでの小問を活かします。(2)がかなり効きます。整数問題の定石「因数分解」が(2)のおかげで使えるようになります。
(解答)
(1)
背理法で示す
のとき
よりこれは矛盾。である。
のとき
は整数であるからだが、上で示したようにだから矛盾。である。
以上よりはともに正となる。
(2)
以下、法をとする。
は整数だからとはであるからとなり、
である。
であるから、
である。
また、であるから、となり、を自然数として
であるからならば、は偶数である。
(3)
(i)のとき
となるから
(ii)つまりのとき
(2)よりを自然数としてと書ける。
よって
もも2以上の整数だから、どちらも素因数はしか持たない。
よってを自然数として
とおくと
のとき、は奇数となってしまい、が素因数をしか持たないことに反する。
よって、すなわちであり、このときとなる。
これを計算していくとが得られる。
(i)(ii)より
なんだかんだ定石通りの問題です。しっかり理解しましょう