2018-03-04

2018年札幌医科大学大問1

大学入試問題数学数Ⅲ 数Ⅱ

札医大です。医大の問題は特殊ですけど札医大はまだマシな方の部類...

2018年札幌医科大学数学大問1
次の各問に答えよ
(1)実数に対して
　　　　
　が成り立つとする。このときであることを証明せよ

(2)を実数とするこのとき、実数全体からなる集合の2つの部分集合
　　　　をみたす実数が存在する
　　　　すべての実数に対してが成り立つ
　を考える。このときが成り立つためのに関する必要十分条件を求めよ

(3)とし、点は、軸からの距離と点からの距離がをみたすものとする。が次の値のとき、点の軌跡を求めよ
　(ア)
　(イ)
　(ウ)

医大によくある（？）小問集合ですね。本番では絶対落とせない。

(考察)
(1)対称性がある感じの式なので、うまく対称性を作り出したらどうにかなりそう？と思えればよいのですが...
　とにかく式変形を繰り返して上手くいきそうな形になるまであきらめない。

(2)まずは $P(x),Q(x)$ を正しく導出。ここで間違うと痛い。どちらの場合も $x$ を定数とみなして、結論を得てから $x$ を変数と見なして動かす、という手法をとりたい。 $Q(x)$ のほうは $x$ の値によって上に凸、直線、下に凸に変化するので要注意。
　 $P(x) \subset Q(x)$ の定義をしっかり押さえたいですね。ベン図とか書いたときに集合 $P(x)$ が集合 $Q(x)$ にすっぽり覆われる状態になればOK。
　厳密に書くと、 $x \in P(x) \Rightarrow x \in Q(x)$ となります。
　必要十分条件を求めるので、逆の確認も忘れない事！

(3)ただただ面倒くさいだけの問題。丁寧に追いましょう。おそらく問題の背景にあるのは離心率。

(解答)
(1)
$x+y^2=y+z^2=z+x^2$ より、
　　　　 $\begin{eqnarray}x+y^2&=&y+z^2\\y+z^2&=&z+x^2\\z+x^2&=&x+y^2 \end{eqnarray}$
よって
　　　　 $\begin{eqnarray}x-y&=&(z+y)(z-y)\\y-z&=&(x+z)(x-z)\\z-x&=&(y+x)(y-x) \end{eqnarray}$
1式目に2式目を代入すると
　　　　 $\begin{eqnarray}x-y&=&-(z+y)(y-z)\\ &=&-(z+y)(x+z)(x-z)\\ y-x&=&(z+y)(x+z)(x-z) \end{eqnarray}$
これを3式目に代入すると
　　　　 $\begin{eqnarray}z-x&=&(y+x)(z+y)(x+z)(x-z) \end{eqnarray}$
ここで、 $x\neq z$ と仮定すると
　　　　 $-1=(x+y)(y+z)(z+x)$
となるが、問題の仮定より $x+y \ge 0,y+z \ge 0,z+x\ge 0$ すなわち $(x+y)(y+z)(z+x) \ge 0$
よって左辺が負なので矛盾。 $x=z$ である。
この式を与えられた式に代入すると
　　　　 $z+y^2=y+z^2=z+z^2$
後ろ2つの式から $y=z$ が得られ、 $x=y=z$ を得る。

(2)
「 $t^2+xt+|y|=0$ をみたす実数 $t$ が存在する」とは、この方程式の判別式 $D_1$ が $D_1 \ge 0$ であることだから
　　　　 $D_1=x^2-4|y| \ge 0$
すなわち
　　　　 $\begin{eqnarray}-\frac{1}{4}x^2 \le y\le\frac{1}{4}x^2 \end{eqnarray}$
よって
　　　　 $\begin{eqnarray} P(x)=\{y|-\frac{1}{4}x^2 \le y\le\frac{1}{4}x^2 \}\end{eqnarray}$

「すべての実数 $t$ に対して $xt^2+yt+1>0$ が成り立つ」について考える。
・ $x>0$ のとき
　左辺は下に凸の二次関数のグラフを描くので、 $xt^2+yt+1=0$ が実数解を持たなければよい
　つまりこの方程式の判別式 $D_2$ が $D_2<0$ を満たせばよい
　　　　 $D_2=y^2-4x<0$
　よって
　　　　 $\begin{eqnarray} x>\frac{1}{4}y^2 \end{eqnarray}$

・ $x=0$ のとき
　 $xt^2+yt+1>0$ は $yt+1>0$ となる。
　(i) $y=0$ のとき
　　すべての実数 $y$ に対して $1>0$ となり、これは適。
　(ii) $y \neq 0$ のとき
　　 $t=-\frac{1}{y}$ とすれば $yt+1=0$ となるため、条件を満たす $y$ は存在しない
　(i)(ii)より
　　　　 $y=0$

・ $x<0$ のとき
　左辺は上に凸の二次関数のグラフを描くため、必ず負の値をとるような $t$ が存在する。
　よって、条件に合うような $y$ は存在しない

以上より
　　　　 $Q(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \begin{eqnarray} x>\frac{1}{4}y^2 \end{eqnarray} & (x>0) \\ 0 & (x=0) \end{array} \right.$

$P(x),Q(x)$ を図示すると次のようになる

f:id:tamazarasi:20180304022855j:plain:w300 — 青:P(x)　赤:Q(x)

図から $P(x) \subset Q(x)$ となっている $x$ の範囲は $0 \le x < 4$ とわかる

(3)
$d_1=x,d_2=\sqrt{(x-2)^2+y^2}$ であり、 $ad_1=d_2 \Rightarrow a^2d_1^2=d_2^2$ だから
　　　　 $a^2x^2=(x-2)^2+y^2$
　(ア) $a=\frac{1}{2}$
　　　　 $\begin{eqnarray}(x-\frac{8}{3})^2+\frac{4}{3}y^2=\frac{16}{9}\end{eqnarray}$
　　　つまり
　　　　楕円 $\begin{eqnarray}\frac{(x-\frac{8}{3})^2}{(\frac{4}{3})^2}+\frac{y^2}{(\frac{2}{\sqrt{3}})^2}=1\end{eqnarray}$

　(イ) $a=1$
　　　　 $\begin{eqnarray}x=\frac{1}{4}y^2+1\end{eqnarray}$
　　　つまり
　　　　放物線 $\begin{eqnarray}x=\frac{1}{4}y^2+1\end{eqnarray}$

　(ウ) $a=2$
　　　　 $\begin{eqnarray}(x+\frac{2}{3})^2-\frac{1}{3}y^2=\frac{16}{9}\end{eqnarray}$
　　　つまり
　　　　双曲線 $\begin{eqnarray}\frac{(x+\frac{2}{3})^2}{(\frac{16}{9})^2}-\frac{y^2}{(\frac{4}{\sqrt{3}})^2}=1\end{eqnarray}$

基本が詰まったような問題ですね。(2)の範囲の等号ミスに気を付けましょう

2018-03-03

ブログの方針

なんとなく書いておこう。
基本は大学入試数学の解説を行いたいです。対象は受験者層。勉強の助けになるように丁寧に解説したいですね。
あとはたまに日記的なのも。大学数学の話もいつかしたいけど、大学数学につまずいてる人なのでどうしようもない。

のほほんと取り組んでいきます

2018-03-02

2018年一橋大学文系数学大問1

大学入試問題数Ｂ数Ａ数学

一橋大も易化しましたね。最近は難関大が易化傾向にあるようで...

2018年一橋大学文系数学大問1
正の整数の各位の和をで表す。たとえば
　　　　
である。
(1)のとき、不等式を示せ。
(2)を満たすを求めよ。

誘導がありがたい問題ですね。桁数が4桁に絞られるので扱いやすくなります。
一橋大の整数、このパターン多いのかも？

(考察)
(1) $S(n)$ の値は桁数に応じて変化しますが、上からも下からも押さえることができるので、うまく不等式の関係を使えそうですね。とりあえず、帰納法が良いのでは。
(2)(1)の主張から $n$ は4桁以下であることが分かりますから、あとは整数問題として解きましょう。うまく範囲を絞っていけば簡単簡単。

(解答)
(1)
$n \ge 10000$ のとき、 $n$ は5桁以上であるから、 $n$ を $k(\ge 5)$ 桁とすると
$S(n)$ の最大値は、 $9$ が $k$ 個連なった時の $9k$ 、最小値は最高位が $1$ で残りが $0$ の時の $1$ だから
　　　　 $1 \le S(n) \le 9k$
また、 $n$ が $k$ 桁の時
　　　　 $10^{k-1} \le n < 10^k$
である。
よって、不等式 $n>30S(n)+2018$ を示すには
　　　　 $10^{k-1} > 30 \cdot 9k +2018$ 　　 $(k \ge 5)$
を示せば十分。
以下、この不等式を数学的帰納法で示す。
$f(k)=10^{k-1}-270k-2018$ とおく
(i) $k=5$ のとき
　 $f(5)=10^4-1350-2018=6632>0$
　よって、適。

(ii) $f(k)>0$ と仮定、つまり $10^{k-1} > 270k +2018$ とするとき
　 $\begin{eqnarray} f(k+1)&=&10^k-270(k+1)-2018\\ &=&10 \cdot 10^{k-1}-270k-270-2018\\ &>&10(270k+2018)-270k-270-2018\\ &=&2430k+17892\\ &>&17892>0\end{eqnarray}$
　となり、 $f(k+1)>0$ となる

(i)(ii)より $(k \ge 5)$ のとき $10^{k-1} > 30 \cdot 9k +2018$ であることが示され、 $n \ge 10000$ のとき、 $n>30S(n)+2018$ であることが示された。

(2)
(1)より $n$ が5桁以上であるとき等号は成立しない。よって $n$ は4桁以下であるから
　　　　 $n=1000a+100b+10c+d$ 　　 $(a,b,c,d$ は $0$ 以上の $1$ 桁の整数 $)$
と表せる。
このとき、 $S(n)=a+b+c+d$ だから、与えられた方程式は
　　　　 $\begin{eqnarray}1000a+100b+10c+d&=&30(a+b+c+d)+2018\\ 970a+70b-20c-29d&=&2018\end{eqnarray}$
となる。
ここで、 $970a=2018-(70b-20c-29d)$ であるから $a$ について絞り込みを行う。
$70\cdot 0-20\cdot 9-29\cdot 9 \le 70b-20c-29d \le 70 \cdot 9-20\cdot 0-29\cdot 0$
つまり
$-441 \le 70b-20c-29d \le 630$
よって
$2018-630 \le 970a \le 2018+441$
つまり
$1388 \le 970a \le 2459$
である。
これを満たす $a$ は $a=2$ のみ。

よって方程式は
　　　　 $\begin{eqnarray}1940+70b-20c-29d&=&2018\\ 70b-20c-29d&=&78\end{eqnarray}$
となる。
ここで、 $10(7b-2c)=29d+78$ であるから、 $29d+78$ は $10$ の倍数。
一の位が $0$ になることを考えると、 $d=8$ のみであることがわかる。
よって、方程式は
　　　　 $\begin{eqnarray}10(7b-2c)&=&310\\ 7b-2c&=&31\\ 7b&=&2c+31\end{eqnarray}$
となる。
$2\cdot 0 +31\le 2c+31 \le 2\cdot 9+31$
つまり
$31 \le 7b \le 49$
だから
$b=5,6,7$

$b$	$5$	$6$	$7$
$2c+31(=7b)$	$35$	$42$	$49$
$c$	$2$	$\frac{11}{2}$	$9$

以上より $n=2528,2798$

絞り込みを何度も用いるタイプの問題でした。やはり一橋大にしてはかなり易しめですね。

2018-03-02

2018年北海道大学理系数学大問3

大学入試問題数Ａ数学

得意だったはずの「順列」や「確率」ですが、高校数学から離れて1年。結構時間を食われました。恐るべし、時間の経過。

2018年北海道大学理系数学大問3
数字の2が書かれたカードが2枚、同様に、数字の0,1,8が書かれたカードがそれぞれ2枚、あわせて8枚のカードがある。これらから4枚を取り出し、横一列に並べてできる自然数をとする。ただし、0のカードが左から1枚または2枚現れる場合は、を3桁または2桁の自然数とそれぞれ考える。例えば、左から順に0,0,1,1の数字のカードが並ぶ場合のは11である。
(1)は整数とする。がの倍数になることとがの倍数になることは同値であることを示せ。
(2)がの倍数である確率を求めよ。
(3)が偶数であったとき、がの倍数である確率を求めよ。

(考察)
問題文があまりよくないですね。4枚出したら普通順番までは確定しないでしょうから...
まぁ、ここは、4枚を順に取り出して左から並べるとでも考えておきましょう。
(1)は9で割ってあげれば解答の形が見えてきます。3の倍数についても同じ議論ができますね。
(2)(3)は基本問題といったところでしょうか。何パターンか書き出して考察をしていけば、完答できるでしょう。
基本的な問題なので、合否を分ける問題になったのではないかと思います。

(解答)
(1)
$1000a+100b+10c+d=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)$ であることから、
・ $1000a+100b+10c+d$ が $9$ の倍数であるとき
　整数 $n$ を用いて $1000a+100b+10c+d=9n$ と書けるから、
　 $\begin{eqnarray}9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)&=&9n\\ a+b+c+d&=&9(n-111a-11b-c) \end{eqnarray}$
　 $a,b,c,d,n$ は整数だから $a+b+c+d$ は $9$ の倍数になる

逆に
・ $a+b+c+d$ が $9$ の倍数であるとき
　整数 $n'$ を用いて $a+b+c+d=9n'$ と書けるから、
　 $\begin{eqnarray}1000a+100b+10c+d&=&9(111a+11b+c)+9n'\\ &=&9(111a+11b+c+n') \end{eqnarray}$
　 $a,b,c,d,n'$ は整数だから $1000a+100b+10c+d$ は $9$ の倍数になる

以上より、 $1000a+100b+10c+d$ が $9$ の倍数になることと $a+b+c+d$ が $9$ の倍数になることは同値である

(2)
（確率の話なので）数字が同じでもすべてのカードを区別して考える
4枚のカードの和が9の倍数となるようなものを考えればよい
4枚のカードの和の最小値は $0+0+1+1=2$ で、最大値は $8+8+2+2=20$ であるから、4枚のカードの和が9の倍数となるとき、その値は $9,18$ のいずれかである。
・4枚のカードの和が $9$ のとき
　このような数字の組み合わせは $(0,0,1,8)$ のみ
　このときのカードの選び方は
　(2枚ある0のうち2枚選ぶ)かつ(2枚ある1のうち1枚選ぶ)かつ(2枚ある8のうち1枚選ぶ)なので
　 $\begin{eqnarray}{}_2 \mathrm{C} _2 \cdot {}_2 \mathrm{C} _1 \cdot {}_2 \mathrm{C} _1 &=& 1 \cdot 2 \cdot 2\\ &=& 4 \end{eqnarray}$
　この選んだ4枚を区別して並べるので $4\cdot 4! =96$ 通り

・4枚のカードの和が $18$ のとき
　このような数字のの組み合わせは $(0,2,8,8),(1,1,8,8)$ の2通り
　 $(0,2,8,8)$ となるカードの選び方は
　(2枚ある0のうち1枚選ぶ)かつ(2枚ある2のうち1枚選ぶ)かつ(2枚ある8のうち2枚選ぶ)なので
　 $\begin{eqnarray}{}_2 \mathrm{C} _1 \cdot {}_2 \mathrm{C} _1 \cdot {}_2 \mathrm{C} _2 &=& 2 \cdot 2 \cdot 1\\ &=& 4 \end{eqnarray}$
　この選んだ4枚を区別して並べるので $4\cdot 4! =96$ 通り

　 $(1,1,8,8)$ となるカードの取り出し方は
　(2枚ある1のうち2枚取り出す)かつ(2枚ある8のうち2枚取り出す)なので
　 $\begin{eqnarray}{}_2 \mathrm{C} _2 \cdot {}_2 \mathrm{C} _2 &=& 1 \cdot 1\\ &=& 1 \end{eqnarray}$
　この選んだ4枚を区別して並べるので $1 \cdot 4! =24$ 通り

よって、4枚のカードの和が9の倍数となるようなカードの取り出し方は $96+96+24=216$ 通り。

4枚のカードの取り出し方は全部で $\begin{eqnarray} {}_8 \mathrm{P} _4 &=&1680 \end{eqnarray}$ 通り。

よって、求める確率は
$\begin{eqnarray} \frac{216}{1680}&=&\frac{9}{70}\end{eqnarray}$

(3)
事象 $\mathrm{A}$ を「 $n$ が偶数である」、事象 $\mathrm{B}$ を「 $n$ が $9$ の倍数である」としたときの条件付き確率
　　　　 $\begin{eqnarray} \mathrm{P}_\mathrm{A}(\mathrm{B}) &=& \frac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})} \end{eqnarray}$
を求めればよい。

・ $\mathrm{P}(\mathrm{A})$ を求める
　 $n$ が偶数となるには、一の位の数字が偶数であればよいから、一の位の数字が1以外であればよい。
　よって
　　 $\begin{eqnarray}\mathrm{P}(\mathrm{A})&=&\frac{6}{8} &=&\frac{3}{4}\end{eqnarray}$

・ $\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})$ を求める
　(i) $(0,0,1,8)$ のとき
　　一の位が $0,0,1,8$ であるものはそれぞれ同じ数だけ存在するので、一の位が $0,0,8$ のいずれかであるものは（ $0$ は2つを区別する）
　　 $\begin{eqnarray} 96 \cdot \frac{3}{4} &=& 72 \end{eqnarray}$ 通り

　(ii) $(0,2,8,8)$ のとき
　　このとき、どのように並べても作られる $n$ は偶数。よって
　　 $96 \cdot 1=96$ 通り

　(iii) $(1,1,8,8)$ のとき
　　一の位が $8,8$ のいずれかであるものは
　　 $\begin{eqnarray} 24 \cdot \frac{2}{4} &=&12 \end{eqnarray}$ 通り

　全取り出し方は(2)と同様に $1680$ 通りであるから、
　 $\begin{eqnarray} \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) &=& \frac{72+96+12}{1680}\\ &=& \frac{180}{1680}\\ &=& \frac{3}{28} \end{eqnarray}$

以上より
　 $\begin{eqnarray} \mathrm{P}_\mathrm{A}(\mathrm{B}) &=& \frac{\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}\\ &=& \frac{3}{28} \cdot \frac{4}{3}\\ &=& \frac{1}{7}\end{eqnarray}$

(3)は(2)の場合分けで得られた組み合わせの数からどれくらいの割合、偶数が存在しているのかを考えると楽に計算ができるようになります。
（個人的には入力作業がつらい問題でした）

2018-03-01

2018年北海道大学理系数学大問2

大学入試問題数Ⅲ 数学

僕の苦手な複素数平面。

2018年北海道大学理系数学大問2
が実数となるようなと異なる複素数の全体をとする。
(1)を複素数平面上に図示せよ。
(2)を実数とする。に属するで方程式
　　　　
を満たすものが存在するようなの値の範囲を求めよ。ただしは虚数単位を表す。

(考察)
ポイントとなる考え方は、
$|z|^2=z\overline{z}$
$z$ が実数 $\Leftrightarrow$ $z=\overline{z}$
$z$ が純虚数 $\Leftrightarrow$ $z+\overline{z}=0$
これは $z=x+yi$ のようにおいて確認してみればすぐにわかります。
そして、複素数平面で重要なポイントとして、複素数をどのように表現するかがポイントになります
１． $z$ をそのまま扱う
２． $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)(0\leqq\theta<2\pi)$ とおく
３． $z=x+yi(x,y$ :実数 $)$ とおく
僕は上から順に試していくことにしています。 $x+yi$ は最終手段。計算が煩雑になることが多い気がします。
今回は２を利用しました。
では、そんな感じで、進めていきます

(解答)
(1)
$\begin{eqnarray}z+\frac{4}{z}\end{eqnarray}$ が実数 $\begin{eqnarray}\Leftrightarrow z+\frac{4}{z}=\overline{z+\frac{4}{z}}\end{eqnarray}$
つまり
$\begin{eqnarray}z+\frac{4}{z}&=&\overline{z}+\frac{4}{\overline{z}}\\ z\overline{z}(z+\frac{4}{z})&=&z\overline{z}(z+\frac{4}{\overline{z}})\\ z^2\overline{z}+4\overline{z}&=&z\overline{z}^2+4z\\ z\overline{z}(z-\overline{z})-4(z-\overline{z})&=&0\\ (z\overline{z}-4)(z-\overline{z})&=&0\\ (|z|^2-4)(z-\overline{z})&=&0\\|z|=2,z=\overline{z} \end{eqnarray}$
よって
$z$ は実軸上または中心 $0$ で半径 $2$ の円周上。ただし $z=0$ は除く
f:id:tamazarasi:20180301031357j:plain:w300

(2)
$z\in D$ より、方程式の左辺は実数になるので、右辺も実数。つまり、 $\begin{eqnarray}z-\frac{4}{z}\end{eqnarray}$ は純虚数。
よって
$\begin{eqnarray} (z-\frac{4}{z})+(\overline{z}-\frac{4}{\overline{z}})&=&0\\ z\overline{z}(z-\frac{4}{z}+\overline{z}-\frac{4}{\overline{z}})&=&0\\ z^2\overline{z}-4\overline{z}+z\overline{z}^2-4z&=&0\\ z(z\overline{z}-4)+\overline{z}(z\overline{z}-4)&=&0\\ (z+\overline{z})(|z|^2-4)&=&0\\ z+\overline{z}=0,|z|=2 \end{eqnarray}$
よって $z$ は純虚数または $|z|=2$ を満たす複素数。
$z\in D$ であることを考慮すると
$z$ が問題の方程式の解である $\Leftrightarrow |z|=2$

このとき、 $z\overline{z}=4$ であるから、問題の方程式は
$\begin{eqnarray} k(z+\frac{z\overline{z}}{z}+8&=&i(z-\frac{z\overline{z}}{z})\\ k(z+\overline{z}+8)&=&i(z-\overline{z}) \end{eqnarray}$
と書き換えられる。
ここで、 $|z|=2$ より $z$ は
　　　 $z=2(\cos\theta+i\sin\theta)$ 　　 $(0\leqq\theta<2\pi)$
とおけるので方程式に代入すると
$\begin{eqnarray} k\{2(\cos\theta+i\sin\theta)+2(\cos\theta-i\sin\theta)+8\}&=&i\{2(\cos\theta+i\sin\theta)-2(\cos\theta-i\sin\theta)\}\\ k(2\cos\theta+4)&=&i\cdot 2i\sin\theta\\ k&=&-\frac{\sin\theta}{\cos\theta+2} \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} \frac{dk}{d\theta}&=&-\frac{\cos^2\theta+2\cos\theta-(-\sin\theta)\sin\theta}{(\cos\theta+2)^2}\\ &=&-\frac{\cos^2\theta+2\cos\theta+(1-\cos^2\theta)}{(\cos\theta+2)^2}\\ &=&-\frac{2\cos\theta+1}{(\cos\theta+2)^2} \end{eqnarray}$
よって $\begin{eqnarray}\frac{dk}{d\theta}=0 \Leftrightarrow \cos\theta=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \theta=\frac{2}{3}\pi,\frac{4}{3}\pi\end{eqnarray}$

$\theta$	$0$	…	$\frac{2}{3}\pi$	…	$\frac{4}{3}\pi$	…	$(2\pi)$
$\frac{dk}{d\theta}$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$k$	$0$	↓	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	↑	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	↓	$0$