2018年北海道大学理系数学大問3
得意だったはずの「順列」や「確率」ですが、高校数学から離れて1年。結構時間を食われました。恐るべし、時間の経過。
2018年北海道大学理系数学大問3 数字の2が書かれたカードが2枚、同様に、数字の0,1,8が書かれたカードがそれぞれ2枚、あわせて8枚のカードがある。これらから4枚を取り出し、横一列に並べてできる自然数をとする。ただし、0のカードが左から1枚または2枚現れる場合は、を3桁または2桁の自然数とそれぞれ考える。例えば、左から順に0,0,1,1の数字のカードが並ぶ場合のは11である。 (1)は整数とする。がの倍数になることとがの倍数になることは同値であることを示せ。 (2)がの倍数である確率を求めよ。 (3)が偶数であったとき、がの倍数である確率を求めよ。
(考察)
問題文があまりよくないですね。4枚出したら普通順番までは確定しないでしょうから...
まぁ、ここは、4枚を順に取り出して左から並べるとでも考えておきましょう。
(1)は9で割ってあげれば解答の形が見えてきます。3の倍数についても同じ議論ができますね。
(2)(3)は基本問題といったところでしょうか。何パターンか書き出して考察をしていけば、完答できるでしょう。
基本的な問題なので、合否を分ける問題になったのではないかと思います。
(解答)
(1)
であることから、
・がの倍数であるとき
整数を用いてと書けるから、
は整数だからはの倍数になる
逆に
・がの倍数であるとき
整数を用いてと書けるから、
は整数だからはの倍数になる
以上より、がの倍数になることとがの倍数になることは同値である
(2)
(確率の話なので)数字が同じでもすべてのカードを区別して考える
4枚のカードの和が9の倍数となるようなものを考えればよい
4枚のカードの和の最小値はで、最大値はであるから、4枚のカードの和が9の倍数となるとき、その値はのいずれかである。
・4枚のカードの和がのとき
このような数字の組み合わせはのみ
このときのカードの選び方は
(2枚ある0のうち2枚選ぶ)かつ(2枚ある1のうち1枚選ぶ)かつ(2枚ある8のうち1枚選ぶ)なので
この選んだ4枚を区別して並べるので通り
・4枚のカードの和がのとき
このような数字のの組み合わせはの2通り
となるカードの選び方は
(2枚ある0のうち1枚選ぶ)かつ(2枚ある2のうち1枚選ぶ)かつ(2枚ある8のうち2枚選ぶ)なので
この選んだ4枚を区別して並べるので通り
となるカードの取り出し方は
(2枚ある1のうち2枚取り出す)かつ(2枚ある8のうち2枚取り出す)なので
この選んだ4枚を区別して並べるので通り
よって、4枚のカードの和が9の倍数となるようなカードの取り出し方は通り。
4枚のカードの取り出し方は全部で通り。
よって、求める確率は
(3)
事象を「が偶数である」、事象を「がの倍数である」としたときの条件付き確率
を求めればよい。
・を求める
が偶数となるには、一の位の数字が偶数であればよいから、一の位の数字が1以外であればよい。
よって
・を求める
(i)のとき
一の位がであるものはそれぞれ同じ数だけ存在するので、一の位がのいずれかであるものは(は2つを区別する)
通り
(ii)のとき
このとき、どのように並べても作られるは偶数。よって
通り
(iii)のとき
一の位がのいずれかであるものは
通り
全取り出し方は(2)と同様に通りであるから、
以上より
(3)は(2)の場合分けで得られた組み合わせの数からどれくらいの割合、偶数が存在しているのかを考えると楽に計算ができるようになります。
(個人的には入力作業がつらい問題でした)
2018年北海道大学理系数学大問2
僕の苦手な複素数平面。
2018年北海道大学理系数学大問2 が実数となるようなと異なる複素数の全体をとする。 (1)を複素数平面上に図示せよ。 (2)を実数とする。に属するで方程式 を満たすものが存在するようなの値の範囲を求めよ。ただしは虚数単位を表す。
(考察)
ポイントとなる考え方は、
が実数
が純虚数
これはのようにおいて確認してみればすぐにわかります。
そして、複素数平面で重要なポイントとして、複素数をどのように表現するかがポイントになります
1.をそのまま扱う
2.とおく
3.:実数とおく
僕は上から順に試していくことにしています。は最終手段。計算が煩雑になることが多い気がします。
今回は2を利用しました。
では、そんな感じで、進めていきます
(解答)
(1)
が実数
つまり
よって
は実軸上または中心で半径の円周上。ただしは除く
(2)
より、方程式の左辺は実数になるので、右辺も実数。つまり、は純虚数。
よって
よっては純虚数またはを満たす複素数。
であることを考慮すると
が問題の方程式の解である
このとき、であるから、問題の方程式は
と書き換えられる。
ここで、よりは
とおけるので方程式に代入すると
よって
… | … | … | |||||
↓ | ↑ | ↓ |
よって
(2)は少し厄介でしたね。とおく解答も各予備校用意していました(河合塾はむしろそっちだけ)。
が、予備校の解答と違う点として、方程式の解であるための必要十分条件としてを先に求めたため、場合分けを減らすことに成功していました。
偶然とはいえ、嬉しいものですね。
残り3題もまとめていきたいと思っています。
2018年北海道大学理系数学大問1
地元の大学を。
2018年北海道大学理系数学大問1 座標空間の4点に対し、 とおく。ただし、は原点、は実数とする (1)と内積をで表せ。 (2)のとき、ベクトルとのなす角がとなるようなの値を求めよ。 (3)とが実数をうごくときの最小値を求めよ。
各予備校の判断も易だった、易しめの問題です。北大はこのような基礎を問う問題が出題されるのでぜひ押さえておきたい問題です。
(考察)
あまり考察することもないですが、計算量はまぁまぁあるので丁寧に計算しましょう。
内積は、と成分表示の2パターンの求め方ができることは必ず押さえましょう
ベクトルの大きさは2乗するとルートが外れたり内積が登場したりして扱いやすくなります。
(解答)
(1)
より、
よって
より、同様にして
(2)
だからより
(3)
より、
のときに最小値
(1)で求めた値が間違っていると雪崩式に失点することになるので注意!
(2)と(3)がほとんど関係ないのが残念な感じの問題ですね。これなら(2)いらない...
(3)は予選決勝法かと思いきや、独立して2乗の項が作れたので面白みのない感じになってしまいましたね。
北大らしい良い意味でも悪い意味でも外してくる問題でした。
2018年東京工業大学数学大問2
またまた整数。どうしても整数から解いてしまう癖がありますね。
2018年東京工業大学数学大問2 次の問いに答えよ (1)を満たす整数の組を一組求めよ (2)を満たす整数の組の中での値が最小となるもの、およびその最小値を求めよ
個人的にかなり好きな問題です。
良問なので、考察を挟みながら回答を仕上げていきます。
(考察1)
整数解が求まりづらい不定方程式は、ユークリッドの互除法を用いることが多いですね。
しかし、いつもは2変数。今回は3変数なのでさてどうしよう。
そこでよ~く、方程式を眺めてみると...係数が...
については7で、については13で、については5で括れますね。
2変数をまとめて1変数にしてしまえば3変数の方程式が2変数の方程式になるわけです!やったね!
今回は7で括りたいと思います。なぜかというと、(2)で、についての話になるので、この2つをまとめておきたいと思ったからです。5で括っても13で括ってもうまくいきます。
(解答)
(1)
ここで、とおくと
(ユークリッドの互除法などを使って)この方程式の整数解の1つは
を解くと、例えばなどが得られる。
よって
(など)
(考察2)
さぁ、ここからです。
(1)を踏まえてどのように解答を作っていくのかを考えてみます。
まず、を求めることができ、そこからも求められます。
ということは、もしかして変数をいくつか使えば一般解が得られるかも??と想像がついたら勝負ありです。
(解答続き)
(2)
とおく。
の整数解の一つはだったから、いつもの不定方程式と同じように引き算してあげれば
が得られ、を整数としてが得られる
次に、を解く。
(考察3)
また3変数の不定方程式が出てきてしまいましたが、13で括れますね。
ここから(1)とのつながりが見え始めます。
(解答続き)
(1)から整数解の1つとしてなどが得られるので、上と同様に
が得られ、を整数としてが得られる。
故にこの方程式の一般解は
(考察4)
さぁ、一般解が得られました。
ですが、ここでに代入!としてしまっては面倒なことに...(出来ないことはないかも)
を小さくするためにはどうすればよいでしょう。
そもそもを小さくするためには...?
お判りでしょうか、絶対値を小さくしてあげればよいですね。
を小さくするようにを定めてあげれば、完成です。
今回は(結果論ですが)を同時に小さくすることが可能になってくれているので
(i)の最小化
(ii)の最小化
を分けて考えた方が解答を仕上げやすいと思います。
(解答続き)
を最小化するにはを最小化することを考えればよい。
(i)を最小化する
この場合、として、とするとよい。
このとき、でこちらはとしてとするとよい。
(ii)を最小化する
だから、として、とするとよい。
このとき、を代入してだから、すなわちとし、とするとよい。
このとき、
以上(i)(ii)より、とすればがともに最小となるため、も最小値をとる。
このとき、で、最小値は
最後が見事ですねぇ~、2変数の絶対値を同時に最小化できたので、東工大の優しさを少し感じられました...
この問題は括り方次第で様々な解法が考えられますし、もっと別な解き方もたくさん存在すると思います。
まぁ、定石通りに解くとこんな感じかな??