k^n(n:自然数)

思いのままに書き綴ります

引っ越しました

アパートに引っ越しました。両親と来て家具とか家電とか設置したりして、新生活!って感じの部屋になりました。明日、両親は帰りますが、18年間親元で暮らしていたので、とても不安です。仕送りがあるとはいえプチ自立ですよね、自立できるかなぁ
大学生活は楽しく過ごすことをモットーに頑張ろうと思っています。勉強だけじゃなくいろんな趣味も極めたいなと考えています。
これからのブログは、
・数学botの解答
・自作問題
・日記
と、いつもと変わらない内容で書いていきたいと思っています。
どちゃ楽bot、不等式botの問題も少し解いてあるので、ブログ掲載の許可を取り次第載せたいです。

友人作問題があるのですが、下書きのまま放置しています。TeX表記が面倒すぎて...wお楽しみに。今度、問題だけでもあげようかと思います。

今日から大学生です、頑張ります。

けものフレンズ第12話のネタバレを回避するために

ネットが歩けない...

自作数学問題bot[45]

おはようございます。良問生産botの自作数学問題botさんの問題もまとめていきたいと思います。
僕が解けるものでまとめていくのでかなり順番は無視した更新になりますが...

(考察)
整数問題は絞り込みが大事なのでまずは、どうやって絞り込みができるかを考えます
まずb(b+1)に着目すると、これは二連続整数の積なので偶数であることがわかります。すると、右辺が504で偶数ですからa^2も偶数と決まり、aも偶数と決まります。
とりあえず、ここまで行けば、割と絞り込めるのであとは、虱潰しでいいでしょう。


(解答)
b(b+1)は二連続整数の積なので偶数であるから
\:\:\:\:a^2=504-(偶数)
となりa^2も偶数であり、aも偶数となる。よって、自然数a'を用いてa=2a'と表せる。
このとき、与式は
\begin{eqnarray}\:\:\:\:4a'^2+b(b+1)&=&504\\
b(b+1)&=&504-4a'^2\\
&=&4(126-a'^2)\end{eqnarray}
となる。
b,b+1は偶奇が異なり、ともに偶数となることはないから、次の2つの場合分けが考えられる。
\:\:(i)b4の倍数のとき
\:\:(ii)b+14の倍数のとき

b'自然数とする。
(i)b=4b'と表せるとき
与式は
\begin{eqnarray}\:\:\:\:4b'(4b'+1)&=&4(126-a'^2)\\
b'(4b'+1)&=&126-a'^2\end{eqnarray}
ここで、左辺は正だから右辺も正であり、126-a'^2>0で、1\leqq{a'}\leqq{11}だから
5\leqq{b'(4b'+1)}\leqq125

b' b'(4b'+1) a'^2 a'
1 5 121 11
2 18 108 ×
3 39 87 ×
4 68 58 ×
5 105 21 ×
6 162 -34 ×

以降a'^2<0となり不適
よって(a,b)=(2a',4b')=(22,4)

(ii)b+1=4b'と表せるとき
与式は
\begin{eqnarray}\:\:\:\:(4b'-1)4b'&=&4(126-a'^2)\\
b'(4b'-1)&=&126-a'^2\end{eqnarray}
ここで、左辺は正だから右辺も正であり、126-a'^2>0で、1\leqq{a'}\leqq{11}だから
5\leqq{b'(4b'-1)}\leqq125

b' b'(4b'-1) a'^2 a'
1 3 123 ×
2 14 112 ×
3 33 90 ×
4 60 58 ×
5 95 31 ×
6 138 -12 ×

以降a'^2<0となり不適
よって解なし

(i)(ii)より(a,b)=(22,4)


北大、東北大あたりが出してきそうな問題ですね

大学

旧帝大に受かったのでセーフ
現役合格なのでセーフ
時間が生まれる〜〜

2017年京都大学理系数学大問3

お久しぶりです。なんか良い回答っぽいのができたので書きます。

2017年京都大学理系数学大問3
p,q自然数\alpha,\betatan\alpha=\frac{1}{p},\beta=\frac{1}{q}
を満たす実数とする。このとき
tan(\alpha+2\beta)=2
を満たすp,qの組(p,q)をすべて求めよ。

(考察)
加法定理を使って整理することは誰でもわかると思いますが、加法定理tan(\alpha+\beta)=\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha{tan}\beta}を使う際、現れるtanは全て定義されている必要があり、今、q=1のときにtan2\betaが定義されないことに注意しなければなりません。最初に解いた時は僕も気づきませんでした。
あとは整数問題として解いていけばokです。

(解答)
(i)q=1のとき
tan\beta=1より\beta=\frac{\pi}{4}+n\pi(ただしnは整数)
よって
\begin{eqnarray}
tan(\alpha+2\beta)
&=&tan(\alpha+\frac{\pi}{2}+2n\pi)\\
&=&tan(\alpha+\frac{\pi}{2})\\
&=&-\frac{1}{tan\alpha}\\
&=&-p=2
\end{eqnarray}
p自然数だから不適

(ii)q\neq1のとき
加法定理より
tan(\alpha+2\beta)=\frac{tan\alpha+tan2\beta}{1-tan\alpha{tan}2\beta}
また
\begin{eqnarray}tan2\beta
&=&\frac{2tan\beta}{1-tan^2\beta}\\
&=&\frac{\frac{2}{q}}{1-(\frac{1}{q})^2}\\
&=&\frac{2q}{q^2-1}\end{eqnarray}
だから
\begin{eqnarray}tan(\alpha+2\beta)
&=&\frac{\frac{1}{p}+\frac{2q}{q^2-1}}{1-\frac{2q}{p(q^2-1)}}\\
&=&\frac{q^2-1+2pq}{p(q^2-1)-2q}=2
\end{eqnarray}
よって
q^2-1+2pq=2pq^2-2p-4q
を満たす自然数の組(p,q)を求めればよい

(ここから予備校各社は最高次が1であるpについて解いてqを絞り込んでいますが、違う方法で解きます)

\begin{eqnarray}(2p-1)q^2-2(p+2)q-(2p-1)&=&0\\
(2p-1)(q^2-1)&=&2(p+2)q\\
(2p-1)(q+1)(q-1)&=&2(p+2)q\end{eqnarray}
ここでqq+1、また、qq-1は連続する整数だから互いに素である。
よって2p-1qの倍数であるから
2p-1=qk(ただしk\in\mathbb{N})とおける
このとき
\begin{eqnarray}
qk(q+1)(q-1)&=&2(p+2)q\\
k(q^2-1)&=&(2p+4)\\
&=&2p-1+5\\
&=&qk+5\\
k(q^2-q-1)&=&5
\end{eqnarray}
kおよびq^2-q-1自然数であるから
(k,q^2-q-1)=(1,5)(5,1)
つまり
(k,q(q-1))=(1,6)(5,2)
よって
(k,q)=(1,3)(5,2)
ここでqk=2p-1よりq,kは奇数であるから
(k,q)=(1,3)のみで
\begin{eqnarray}
2p-1&=&1\cdot{3}\\
p&=&2\end{eqnarray}

以上より求める組は
(p,q)=(2,3)



予備校各社(駿台,河合塾,代ゼミ)の解答速報では駿台代ゼミが逆の確認をしていて、河合塾は特に記載されていませんでした。
この点については友人とみっちり話したんですが、おそらく加法定理を使った際に分数の解消により分母が0になる可能性が復活して同値性が崩れるからではないか、という結論に至りましたが、僕は書かないですね。別にこれくらいなら減点は数点でしょう()
書いておいて損は無いと思います。実際、バカ正直に逆の計算する必要も無いでしょうし。

大学への数学

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定期購読して頑張ろうと思います。
それだけです。

今後の話

もう高3ですよ、えぇ。受験生ですよ、本当の。早いもんですねぇ

というわけで生活を見直します
ここの更新も思いっきり減ります。(更新はしていくつもりです)
最近PVが増えてきたのが嬉しいのでね、解いたらまとめていきます。LaTeX記法がとにかく厄介なんですけどね、解く時間をよりも入力に時間かかってるんですよ実際w

まぁ頑張ります