k^n(n:自然数)

思いのままに書き綴ります

大学入試問題大学別目次

各大学ごとに解説している入試問題をまとめました。

軽くジャンルも書いておきましたので、特定のジャンルの問題を解きたい方は参考にしてみてください

続きを読む

大学入試問題大学別目次(表)

ジャンルは書けませんがもっと短くまとめたかったので。

続きを読む

2018年千葉大学数学大問2

2018年千葉大学数学大問2
下図のような1辺の長さが2の立方体\mathrm{ABCD-EFGH}に対して、対角線\mathrm{AG}\mathrm{DF}の交点を\mathrm{O}とする。
線分\mathrm{AO}上の点\mathrm{P}と線分\mathrm{DO}上の点\mathrm{Q}\mathrm{OQ}=2\mathrm{AP}-1を満たしながら動くとき、\triangle{\mathrm{OPQ}}の面積の最大値を求めよ。
ただし点\mathrm{P},\mathrm{Q}は点\mathrm{O}とは一致しないものとする。
f:id:tamazarasi:20180328083919p:plain:w200


(考察)
とりあえず、\triangle{\mathrm{OPQ}}の面積を求めるには辺とか角の大きさの情報が必要です。\mathrm{OP}\mathrm{OQ}の長さはすぐにわかるので、\angle{\mathrm{POQ}}について考えてあげれば、\begin{eqnarray}\triangle{\mathrm{OPQ}}=\frac{1}{2}\mathrm{OP}\cdot\mathrm{OQ}\sin \angle{\mathrm{POQ}}\end{eqnarray}が使えそうです。

(解答)
\triangle{\mathrm{AEF}}三平方の定理を用いると
    \mathrm{AF}=\sqrt{\mathrm{AE}^2+\mathrm{EF}^2}=2\sqrt{2}
f:id:tamazarasi:20180328084028j:plain:w300
上図のように平面\mathrm{ADGF}を考える。
\triangle{\mathrm{DAF}}三平方の定理を用いると
    \mathrm{DF}=\sqrt{\mathrm{AF}^2+\mathrm{AD}^2}=2\sqrt{3}
よって
    \begin{eqnarray}\mathrm{AO}=\mathrm{DO}=\frac{1}{2}\mathrm{DF}=\sqrt{3}\end{eqnarray}
\triangle{\mathrm{AOD}}余弦定理より
    \begin{eqnarray}\cos \angle{\mathrm{POQ}}&=&\frac{\mathrm{AO}^2+\mathrm{DO}^2-\mathrm{AD}^2}{2\cdot\mathrm{AO}\cdot\mathrm{DO}}\\
&=&\frac{\sqrt{3}^2+\sqrt{3}^2-2^2}{2\cdot \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}\\
&=&\frac{2}{6}\\
&=&\frac{1}{3}\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}0< \angle{\mathrm{POQ}}<\pi\end{eqnarray}に注意すると
    \begin{eqnarray}\sin \angle{\mathrm{POQ}}&=&\sqrt{1-\cos^2 \angle{\mathrm{POQ}}}\\
&=&\sqrt{\frac{8}{9}}\\
&=&\frac{2\sqrt{2}}{3}\end{eqnarray}
ここで、点\mathrm{P}は線分\mathrm{AO}上を動くから
    0<\mathrm{AP}\le\sqrt{3}
また、点\mathrm{Q}は線分\mathrm{DO}上を動くから
    0<2\mathrm{AP}-1\le\sqrt{3}
これらを合わせると
    \begin{eqnarray}\frac{1}{2}<\mathrm{AP}\le\frac{1+\sqrt{3}}{2}\end{eqnarray}
よって
    \begin{eqnarray}\triangle{\mathrm{OPQ}}&=&\frac{1}{2}\mathrm{OP}\cdot\mathrm{OQ}\sin \angle{\mathrm{POQ}}\\
&=&\frac{1}{2}(\mathrm{AO}-\mathrm{AP})(2\mathrm{AP}-1)\frac{2\sqrt{2}}{3}\\
&=&\frac{\sqrt{2}}{3}(\sqrt{3}-\mathrm{AP})(2\mathrm{AP}-1)\\
&=&-\frac{2\sqrt{2}}{3}(\mathrm{AP}-\sqrt{3})(\mathrm{AP}-\frac{1}{2})\end{eqnarray}
よって、\triangle{\mathrm{OPQ}}の面積は\begin{eqnarray}\mathrm{AP}=\frac{1}{2}(\sqrt{3}+\frac{1}{2})=\frac{1+2\sqrt{3}}{4}\end{eqnarray}の時に最大となる(\mathrm{AP}は上の範囲を満たす)
ゆえに、求める最大値は
    \begin{eqnarray}\triangle{\mathrm{OPQ}}&=&-\frac{2\sqrt{2}}{3}(\mathrm{AP}-\sqrt{3})(\mathrm{AP}-\frac{1}{2})\\
&=&-\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{1+2\sqrt{3}}{4}-\sqrt{3})(\frac{1+2\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2})\\
&=&-\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{1-2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{-1+2\sqrt{3}}{4}\\
&=&\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{(2\sqrt{3}-1)^2}{16}\\
&=&\frac{\sqrt{2}(13-4\sqrt{3})}{24}\\
&=&\frac{13\sqrt{2}-4\sqrt{6}}{24}\end{eqnarray}



前回の問題といい今回の問題といい計算が煩雑になりますね。

2018年千葉大学数学大問1

千葉大の問題毎年好きです。まだ途中の大学もたくさんあるのに、こっちも全部解いてみようかなとか思ったり。

2018年千葉大学数学大問1
aを実数とし、f(x)=2x^2-4ax+3a^2-4a+1とする。
(1)xに関する2次方程式f(x)=0が実数解をもつようなaの値の範囲を求めよ。
(2)aのどんな値に対してもf(2+\sqrt{5})>0であることを示せ。

(考察)
難易度は易しいですよね。
(1)判別式で一発
(2)とりあえず代入して、あとはaについての2次方程式と見なして考えてあげればOK


(解答)
(1)
f(x)=0が実数解を持つためには、この方程式の判別式DD>0を満たせばよい。
    \begin{eqnarray}\frac{D}{4}&=&(2a)^2-2(3a^2-4a+1)\\
&=&4a^2-6a^2+8a-2\\
&=&-2a^2+8a-2\ge 0
\end{eqnarray}
つまり
    \begin{eqnarray}a^2-4a+1&\le& 0\end{eqnarray}
これを整理すると
    2-\sqrt{3}\le a\le 2+\sqrt{3}

(2)
\begin{eqnarray}f(2+\sqrt{5})&=&2(2+\sqrt{5})^2-4a(2+\sqrt{5})+3a^2-4a+1\\
&=&2(4+5+4\sqrt{5})-4(3+\sqrt{5})a+3a^2+1\\
&=&3a^2-4(3+\sqrt{5})a+19+8\sqrt{5}\\
&=&3\{a^2-\frac{4(3+\sqrt{5})}{3}a\}+19+8\sqrt{5}\\
&=&3\{(a-\frac{2(3+\sqrt{5})}{3})^2-(\frac{2(3+\sqrt{5})}{3})^2\}+19+8\sqrt{5}\\
&=&3\{a-\frac{2(3+\sqrt{5})}{3}\}^2-\frac{4(14+6\sqrt{5})}{3}+19+8\sqrt{5}\\
&=&3\{a-\frac{2(3+\sqrt{5})}{3}\}^2+\frac{1}{3}\\\end{eqnarray}
であるから、
    \begin{eqnarray}f(2+\sqrt{5})\ge \frac{1}{3} >0\end{eqnarray}



まぁ一応細かく書きましたが、要は平方完成すればいいだけです

自作数学問題bot[47]

なんでこんな時間まで起きてるんだろう。

(考察1)
(i)は形からして、相反方程式を連想できなきゃマズいですね。受験生なら。


(解答)
(i)
\begin{eqnarray}t=x+\frac{6}{x}\end{eqnarray}とおくと、\begin{eqnarray}t^2=x^2+\frac{36}{x^2}+12\end{eqnarray}であり、与えられた方程式は
    \begin{eqnarray}x^2-8x+19-\frac{48}{x}+\frac{36}{x^2}&=&0\\
(x^2+\frac{36}{x^2})-8(x+\frac{6}{x})+19&=&0\\
(t^2-12)-8t+19&=&0\\
t^2-8t+7&=&0\\
(t-1)(t-7)&=&0\\
t&=&1,7\\
x+\frac{6}{x}&=&1,7\\
x^2+6&=&x,7x
\end{eqnarray}
よって
    x^2-x+6=0,x^2-7x+6=0
となり、それぞれ
    (x-3)(x+2)=0,(x-1)(x-6)=0
となるから
    x=-2,1,3,6



(考察2)
相反方程式のポイントは上手い置換が思いつくように適当に括ってみることです。与えられた方程式を変形すると
    \begin{eqnarray}x^4-8x^2+12x+7-\frac{48}{x}+\frac{36}{x^2}&=&0\\
x^4-8(x^2+\frac{6}{x})+12x+7+\frac{36}{x^2}&=&0
\end{eqnarray}
となるので\begin{eqnarray}t=x^2+\frac{6}{x}\end{eqnarray}と置換してみると\begin{eqnarray}t^2=x^4+\frac{36}{x^2}+12x\end{eqnarray}となり、与えられた方程式に出てきたようなものがゴロゴロ出てくるので、こいつを使ってみる。



(解答続き)
\begin{eqnarray}t=x^2+\frac{6}{x}\end{eqnarray}とおくと、\begin{eqnarray}t^2=x^4+\frac{36}{x^2}+12x\end{eqnarray}となり、与えられた方程式は
    \begin{eqnarray}x^4-8x^2+12x+7-\frac{48}{x}+\frac{36}{x^2}&=&0\\
x^4+12x+\frac{36}{x^2}-8(x^2+\frac{6}{x})+7&=&0\\
t^2-8t+7&=&0\\
(t-1)(t-7)&=&0\\
t&=&1,7\\
x^2+\frac{6}{x}&=&1,7\\
x^3+6&=&x,7x
\end{eqnarray}
よって
    x^3-x+6=0,x^3-7x+6=0
となり、それぞれ
    (x+2)(x^2-2x+3)=0,(x-1)(x+3)(x-2)=0
となるから、
    x=-3,\pm 2,1,1\pm\sqrt{2}i



(ii)は思いつけば、って感じですが、こういうタイプの置換もあるってことくらいは頭の片隅にあるとよいかもしれませんね!