2018年千葉大学数学大問2

大学入試問題 数学 
2018年千葉大学数学大問2
下図のような1辺の長さが2の立方体\mathrm{ABCD-EFGH}に対して、対角線\mathrm{AG}と\mathrm{DF}の交点を\mathrm{O}とする。
線分\mathrm{AO}上の点\mathrm{P}と線分\mathrm{DO}上の点\mathrm{Q}が\mathrm{OQ}=2\mathrm{AP}-1を満たしながら動くとき、\triangle{\mathrm{OPQ}}の面積の最大値を求めよ。
ただし点\mathrm{P},\mathrm{Q}は点\mathrm{O}とは一致しないものとする。
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(考察)
とりあえず、\triangle{\mathrm{OPQ}}の面積を求めるには辺とか角の大きさの情報が必要です。\mathrm{OP}や\mathrm{OQ}の長さはすぐにわかるので、\angle{\mathrm{POQ}}について考えてあげれば、\begin{eqnarray}\triangle{\mathrm{OPQ}}=\frac{1}{2}\mathrm{OP}\cdot\mathrm{OQ}\sin \angle{\mathrm{POQ}}\end{eqnarray}が使えそうです。

(解答)
\triangle{\mathrm{AEF}}で三平方の定理を用いると
　　　　\mathrm{AF}=\sqrt{\mathrm{AE}^2+\mathrm{EF}^2}=2\sqrt{2}
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上図のように平面\mathrm{ADGF}を考える。
\triangle{\mathrm{DAF}}で三平方の定理を用いると
　　　　\mathrm{DF}=\sqrt{\mathrm{AF}^2+\mathrm{AD}^2}=2\sqrt{3}
よって
　　　　\begin{eqnarray}\mathrm{AO}=\mathrm{DO}=\frac{1}{2}\mathrm{DF}=\sqrt{3}\end{eqnarray}
\triangle{\mathrm{AOD}}で余弦定理より
　　　　\begin{eqnarray}\cos \angle{\mathrm{POQ}}&=&\frac{\mathrm{AO}^2+\mathrm{DO}^2-\mathrm{AD}^2}{2\cdot\mathrm{AO}\cdot\mathrm{DO}}\\ &=&\frac{\sqrt{3}^2+\sqrt{3}^2-2^2}{2\cdot \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}\\ &=&\frac{2}{6}\\ &=&\frac{1}{3}\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}0< \angle{\mathrm{POQ}}<\pi\end{eqnarray}に注意すると
　　　　\begin{eqnarray}\sin \angle{\mathrm{POQ}}&=&\sqrt{1-\cos^2 \angle{\mathrm{POQ}}}\\ &=&\sqrt{\frac{8}{9}}\\ &=&\frac{2\sqrt{2}}{3}\end{eqnarray}
ここで、点\mathrm{P}は線分\mathrm{AO}上を動くから
　　　　0<\mathrm{AP}\le\sqrt{3}
また、点\mathrm{Q}は線分\mathrm{DO}上を動くから
　　　　0<2\mathrm{AP}-1\le\sqrt{3}
これらを合わせると
　　　　\begin{eqnarray}\frac{1}{2}<\mathrm{AP}\le\frac{1+\sqrt{3}}{2}\end{eqnarray}
よって
　　　　\begin{eqnarray}\triangle{\mathrm{OPQ}}&=&\frac{1}{2}\mathrm{OP}\cdot\mathrm{OQ}\sin \angle{\mathrm{POQ}}\\ &=&\frac{1}{2}(\mathrm{AO}-\mathrm{AP})(2\mathrm{AP}-1)\frac{2\sqrt{2}}{3}\\ &=&\frac{\sqrt{2}}{3}(\sqrt{3}-\mathrm{AP})(2\mathrm{AP}-1)\\ &=&-\frac{2\sqrt{2}}{3}(\mathrm{AP}-\sqrt{3})(\mathrm{AP}-\frac{1}{2})\end{eqnarray}
よって、\triangle{\mathrm{OPQ}}の面積は\begin{eqnarray}\mathrm{AP}=\frac{1}{2}(\sqrt{3}+\frac{1}{2})=\frac{1+2\sqrt{3}}{4}\end{eqnarray}の時に最大となる（\mathrm{AP}は上の範囲を満たす）
ゆえに、求める最大値は
　　　　\begin{eqnarray}\triangle{\mathrm{OPQ}}&=&-\frac{2\sqrt{2}}{3}(\mathrm{AP}-\sqrt{3})(\mathrm{AP}-\frac{1}{2})\\ &=&-\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{1+2\sqrt{3}}{4}-\sqrt{3})(\frac{1+2\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2})\\ &=&-\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{1-2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{-1+2\sqrt{3}}{4}\\ &=&\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{(2\sqrt{3}-1)^2}{16}\\ &=&\frac{\sqrt{2}(13-4\sqrt{3})}{24}\\ &=&\frac{13\sqrt{2}-4\sqrt{6}}{24}\end{eqnarray}



前回の問題といい今回の問題といい計算が煩雑になりますね。

2018年千葉大学数学大問1

大学入試問題 数学 数Ⅰ

千葉大の問題毎年好きです。まだ途中の大学もたくさんあるのに、こっちも全部解いてみようかなとか思ったり。

2018年千葉大学数学大問1
aを実数とし、f(x)=2x^2-4ax+3a^2-4a+1とする。
(1)xに関する2次方程式f(x)=0が実数解をもつようなaの値の範囲を求めよ。
(2)aのどんな値に対してもf(2+\sqrt{5})>0であることを示せ。

(考察)
難易度は易しいですよね。
(1)判別式で一発
(2)とりあえず代入して、あとはaについての2次方程式と見なして考えてあげればOK


(解答)
(1)
f(x)=0が実数解を持つためには、この方程式の判別式DがD>0を満たせばよい。
　　　　\begin{eqnarray}\frac{D}{4}&=&(2a)^2-2(3a^2-4a+1)\\ &=&4a^2-6a^2+8a-2\\ &=&-2a^2+8a-2\ge 0 \end{eqnarray}
つまり
　　　　\begin{eqnarray}a^2-4a+1&\le& 0\end{eqnarray}
これを整理すると
　　　　2-\sqrt{3}\le a\le 2+\sqrt{3}

(2)
\begin{eqnarray}f(2+\sqrt{5})&=&2(2+\sqrt{5})^2-4a(2+\sqrt{5})+3a^2-4a+1\\ &=&2(4+5+4\sqrt{5})-4(3+\sqrt{5})a+3a^2+1\\ &=&3a^2-4(3+\sqrt{5})a+19+8\sqrt{5}\\ &=&3\{a^2-\frac{4(3+\sqrt{5})}{3}a\}+19+8\sqrt{5}\\ &=&3\{(a-\frac{2(3+\sqrt{5})}{3})^2-(\frac{2(3+\sqrt{5})}{3})^2\}+19+8\sqrt{5}\\ &=&3\{a-\frac{2(3+\sqrt{5})}{3}\}^2-\frac{4(14+6\sqrt{5})}{3}+19+8\sqrt{5}\\ &=&3\{a-\frac{2(3+\sqrt{5})}{3}\}^2+\frac{1}{3}\\\end{eqnarray}
であるから、
　　　　\begin{eqnarray}f(2+\sqrt{5})\ge \frac{1}{3} >0\end{eqnarray}



まぁ一応細かく書きましたが、要は平方完成すればいいだけです

自作数学問題bot[47]

数Ⅱ 自作数学問題bot 数学

なんでこんな時間まで起きてるんだろう。

(考察1)
(i)は形からして、相反方程式を連想できなきゃマズいですね。受験生なら。


(解答)
(i)
\begin{eqnarray}t=x+\frac{6}{x}\end{eqnarray}とおくと、\begin{eqnarray}t^2=x^2+\frac{36}{x^2}+12\end{eqnarray}であり、与えられた方程式は
　　　　\begin{eqnarray}x^2-8x+19-\frac{48}{x}+\frac{36}{x^2}&=&0\\ (x^2+\frac{36}{x^2})-8(x+\frac{6}{x})+19&=&0\\ (t^2-12)-8t+19&=&0\\ t^2-8t+7&=&0\\ (t-1)(t-7)&=&0\\ t&=&1,7\\ x+\frac{6}{x}&=&1,7\\ x^2+6&=&x,7x \end{eqnarray}
よって
　　　　x^2-x+6=0,x^2-7x+6=0
となり、それぞれ
　　　　(x-3)(x+2)=0,(x-1)(x-6)=0
となるから
　　　　x=-2,1,3,6



(考察2)
相反方程式のポイントは上手い置換が思いつくように適当に括ってみることです。与えられた方程式を変形すると
　　　　\begin{eqnarray}x^4-8x^2+12x+7-\frac{48}{x}+\frac{36}{x^2}&=&0\\ x^4-8(x^2+\frac{6}{x})+12x+7+\frac{36}{x^2}&=&0 \end{eqnarray}
となるので\begin{eqnarray}t=x^2+\frac{6}{x}\end{eqnarray}と置換してみると\begin{eqnarray}t^2=x^4+\frac{36}{x^2}+12x\end{eqnarray}となり、与えられた方程式に出てきたようなものがゴロゴロ出てくるので、こいつを使ってみる。



(解答続き)
\begin{eqnarray}t=x^2+\frac{6}{x}\end{eqnarray}とおくと、\begin{eqnarray}t^2=x^4+\frac{36}{x^2}+12x\end{eqnarray}となり、与えられた方程式は
　　　　\begin{eqnarray}x^4-8x^2+12x+7-\frac{48}{x}+\frac{36}{x^2}&=&0\\ x^4+12x+\frac{36}{x^2}-8(x^2+\frac{6}{x})+7&=&0\\ t^2-8t+7&=&0\\ (t-1)(t-7)&=&0\\ t&=&1,7\\ x^2+\frac{6}{x}&=&1,7\\ x^3+6&=&x,7x \end{eqnarray}
よって
　　　　x^3-x+6=0,x^3-7x+6=0
となり、それぞれ
　　　　(x+2)(x^2-2x+3)=0,(x-1)(x+3)(x-2)=0
となるから、
　　　　x＝-3,\pm 2,1,1\pm\sqrt{2}i



(ii)は思いつけば、って感じですが、こういうタイプの置換もあるってことくらいは頭の片隅にあるとよいかもしれませんね！

2018年東京大学理系数学大問2

大学入試問題 数Ⅲ 数Ｂ 数学

いろいろ忙しい

2018年東京大学理系数学大問2
数列a_1,a_2,\cdots,を
　　　　　\begin{eqnarray}a_n=\frac{_{2n+1}\mathrm{C}_n}{n!}(n=1,2,\cdots)\end{eqnarray}
で定める。
(1)n\ge 2とする。\begin{eqnarray}\frac{a_n}{a_{n-1}}\end{eqnarray}を既約分数\begin{eqnarray}\frac{q_n}{p_n}\end{eqnarray}として表したときの分母p_n\ge 1と分子q_nを求めよ。
(2)a_nが整数となるn\ge 1をすべて求めよ。

(考察1)
(1)で既約分数になっているのを見落とさないように。互いに素を証明するために、ユークリッドの互除法を利用しましょう。コンビネーションの定義を忘れると全部落とします。


(解答)
(1)
\begin{eqnarray}a_n&=&\frac{1}{n!}\cdot \frac{(2n+1)!}{n!(n+1)!}\end{eqnarray}であるから
　　　　\begin{eqnarray}\frac{a_n}{a_{n-1}}&=&\frac{(2n+1)!}{n!n!(n+1)!}\cdot \frac{(n-1)!(n-1)!n!}{(2n-1)!}\\ &=&\frac{(2n+1)\cdot 2}{n\cdot (n+1)}\end{eqnarray}
ここでn(n+1)は2連続整数の積だから、偶数であり
　　　　\begin{eqnarray}\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{2n+1}{\frac{1}{2}n(n+1)}\end{eqnarray}
としても、分母、分子共に整数になる。
また、
　　　　2n+1=n\cdot 2+1
であるから、2n+1とnの最大公約数はnと1のそれに等しいから、2n+1とnは互いに素。
さらに
　　　　\begin{eqnarray}2n+1&=&(n+1)\cdot 1+n\\ n+1&=&n\cdot 1+1\end{eqnarray}
より、2n+1とn+1の最大公約数はn+1とnのそれ、またnと1のそれに等しいから、2n+1とn+1も互いに素。
よって、2n+1と\frac{1}{2}n(n+1)は互いに素であり、
　　　　\begin{eqnarray}\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{2n+1}{\frac{1}{2}n(n+1)}\end{eqnarray}
は既約分数となる
よって
　　　　\begin{eqnarray}p_n&=&2n+1\\ q_n&=&\frac{1}{2}n(n+1)\end{eqnarray}

(2)
(考察2)
(2)はどこに着目するかで大きく解答の方針が変わります。
p_n,q_nに着目すると、a_nをp_n,q_nで表したときに分子が奇数であることが分かるので、p_nの偶奇を判断してあげることでa_nが整数になるか分数になるかが分かります
\frac{a_n}{a_{n-1}}に着目すると、確率漸化式などでよく見る手法\frac{a_n}{a_{n-1}}<1が思いつくとよいでしょう。明らかにa_nは正なのでa_nが単調減少数列であれば、a_nが整数になりうるnをある程度絞り込めます。

(解答)
(p_n,q_nに着目)
・n=1のとき
　　　　\begin{eqnarray}a_1=\frac{_3\mathrm{C}_1}{1!}=3\end{eqnarray}
　　となり、整数。
・n\ge 2のとき
　　(1)より
　　　　\begin{eqnarray}a_n=\frac{p_n}{q_n}a_{n-1}\end{eqnarray}
　　であり、これを繰り返し使うと
　　　　\begin{eqnarray}a_n&=&\frac{p_np_{n-1}\cdots p_2}{q_nq_{n-1}\cdots q_2}\cdot a_1\\ &=&\frac{3p_np_{n-1}\cdots p_2}{q_nq_{n-1}\cdots q_2}\end{eqnarray}
　　である。
　　ここで、q_n=2n+1は常に奇数だからa_nが整数であるとき、a_nの分子は奇数でなければならない。
　　つまり、p_nが偶数となってしまうとそれ以降その素因数2が分母に残り続け、整数にならない。
　　実際、
　　　　\begin{eqnarray}p_1&=&\frac{1\cdot 2}{2}=1\\ p_2&=&\frac{2\cdot 3}{2}=3\\ p_3&=&\frac{3\cdot 4}{2}=6\end{eqnarray}
　　であり、n\ge 3でa_nが整数になることはない。
　　また、
　　　　\begin{eqnarray}a_2=\frac{_5\mathrm{C}_2}{2!}=\frac{10}{2}=5\end{eqnarray}
　　であるから、n=2でのみ整数となる
以上より求める整数は
　　　　n=1,2

(\frac{a_n}{a_{n-1}}に着目)
\begin{eqnarray}\frac{a_n}{a_{n-1}}<1\end{eqnarray}を考える。
　　　　\begin{eqnarray}\frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{2n+1}{\frac{1}{2}n(n+1)}&<&1\\ 4n+2&<&n(n+1)\\ 2&<&n^2-3n\\ 2&<&n(n-3)\end{eqnarray}
よって、n\ge 4で\frac{a_n}{a_{n-1}}は単調減少。
　　　　\begin{eqnarray}a_4&=&\frac{_9\mathrm{C}_4}{4!}=\frac{21}{4}\\ a_5&=&\frac{_{11}\mathrm{C}_5}{5!}=\frac{77}{20}\\ a_6&=&\frac{_{13}\mathrm{C}_6}{6!}=\frac{143}{60}\\ a_7&=&\frac{_{15}\mathrm{C}_7}{7!}=\frac{143}{112}\\ a_8&=&\frac{_{17}\mathrm{C}_8}{8!}=\frac{2431}{4032}<1 \end{eqnarray}
となり、a_n>0は明らかだから、n\ge 8ではa_nは整数にならない。
　　　　\begin{eqnarray}a_1&=&\frac{_3\mathrm{C}_1}{1!}=3\\ a_2&=&\frac{_5\mathrm{C}_2}{2!}=5\\ a_3&=&\frac{_7\mathrm{C}_3}{3!}=\frac{35}{6}\\ \end{eqnarray}
だから、求める整数は
　　　　n=1,2



(2)は気づけば前半の解き方のほうが良いですね、ほとんど計算しなくてよいので。でも入試本番だと後半の解き方にすぐ移行できればロスは少なく済むと思います。計算ミスしないように丁寧に計算しなきゃならないですが。あと、「a_nが全然小さくならないけど、どうせ1より下回るだろう」と信じて途中で諦めないメンタルの強さも必要な解法ですね...

特に書くこともなく

つぶやき

この大学の問題をまとめて！とかあったらコメントなりください。

僕の数学力、高くはないので時間がかかるかもしれないですが、誰かのためにと思ってやっていますので、そういう要望があると助かります。