2018年東北大学理系数学大問1

南下しまして東北大です。

2018年東北大学理系数学大問1
平面における2つの放物線を考える。
(1)とが異なる2点で交わり、その2交点の座標の差がとなるように実数が動くとき、の頂点の軌跡を図示せよ。
(2)実数が(1)の条件を満たしながら動くとき、との2交点を結ぶ直線が通過する範囲を求め、図示せよ。

こちらは易問。(2)までちゃんと得点しましょう。

(考察)
(1)まずは判別式を使って実数解を持つ条件を出します。それから、実際に解を求めて、差をとって考えてあげてもよいし、かっこよく「解と係数の関係」と「基本対称式」を使ってあげるのもおしゃれですね。今回はおしゃれに後者で。
(2)よくある問題ですね。こういう問題は $a,b$ いずれかの文字だけにまとめてあげて、その文字が実数になるように、いろいろ工夫してあげるという定石通りの解法です。

(解答)
(1)
2交点の $x$ 座標を $\alpha , \beta$ とおく $(\alpha < \beta)$ 。
このとき、 $\alpha , \beta$ は $C$ と $D$ を連立した方程式
　　　　 $(x-a)^2+b=-x^2$
の解になる。
これを整理すると
　　　　 $2x^2-2ax+a^2+b=0$
である。
これが異なる2つの実数解を持つためには判別式 $\frac{D_1}{4}=a^2-2a^2-2b=-a^2-2b>0$ が条件。つまり
　　　　 $\begin{eqnarray}b<-\frac{1}{2}a^2\end{eqnarray}$
また、解と係数の関係から
　　　　 $\begin{eqnarray}\alpha+\beta&=&a\\ \alpha\beta&=&\frac{a^2+b}{2}\end{eqnarray}$
いま、 $x$ 座標の差が $1$ だから、 $\beta-\alpha=1$ であるから、
　　　　 $\begin{eqnarray}(\beta-\alpha)^2&=&1\\ \alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2&=&1\\ (\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=1\\ a^2-4\cdot\frac{a^2+b}{2}&=&1\\ a^2-2a^2-2b&=&1\\ b&=&-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}\end{eqnarray}$
これは上で求めた条件を満たすので、求める軌跡は次の図。
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(2)
(1)より2交点の $x$ 座標を求める方程式は
　　　　 $\begin{eqnarray}2x^2-2ax+a^2-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}&=&0\\ 4x^2-4ax+a^2-1&=&0\\ \{2x-(a+1)\}\{2x-(a-1)\}&=&0\\ x&=&\frac{a+1}{2},\frac{a-1}{2}\end{eqnarray}$
よって、2交点は $\begin{eqnarray}(\frac{a+1}{2},-\frac{a^2+2a+1}{4}),(\frac{a-1}{2},-\frac{a^2-2a+1}{4})\end{eqnarray}$
この2点を通る直線の方程式は
　　　　 $\begin{eqnarray}y+\frac{a^2+2a+1}{4}&=&\frac{-\frac{a^2+2a+1}{4}+\frac{a^2-2a+1}{4}}{\frac{a+1}{2}-\frac{a-1}{2}}(x-\frac{a+1}{2})\\ y&=&-a(x-\frac{a+1}{2})-\frac{a^2+2a+1}{4}\\ 4y&=&-2a(2x-a-1)-a^2-2a-1\\ 4y&=&-4ax+a^2-1\end{eqnarray}$
今、 $a$ が実数全体をうごくので、 $a$ についての2次方程式 $a^2-4xa-4y-1=0$ の判別式 $D_2$ は $D_2 \ge 0$ となる。
　　　　 $\begin{eqnarray}\frac{D_2}{4}=4x^2+4y+1&\ge &0\\ y &\ge &-x^2-\frac{1}{4}\end{eqnarray}$
よって、直線が通過する範囲は以下の図（境界を含む）。
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