2017年京都大学理系数学大問3

お久しぶりです。なんか良い回答っぽいのができたので書きます。

2017年京都大学理系数学大問3
を自然数、を

を満たす実数とする。このとき

を満たすの組をすべて求めよ。

(考察)
加法定理を使って整理することは誰でもわかると思いますが、加法定理 $\tan (\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$ を使う際、現れる $\tan$ は全て定義されている必要があり、今、 $q=1$ のときに $\tan 2\beta$ が定義されないことに注意しなければなりません。最初に解いた時は僕も気づきませんでした。
あとは整数問題として解いていけばokです。

(解答)
(i) $q=1$ のとき
$\tan\beta=1$ より $\beta=\frac{\pi}{4}+n\pi$ (ただし $n$ は整数)
よって
$\begin{eqnarray} \tan (\alpha+2\beta) &=&\tan (\alpha+\frac{\pi}{2}+2n\pi)\\ &=&\tan (\alpha+\frac{\pi}{2})\\ &=&-\frac{1}{\tan\alpha}\\ &=&-p=2 \end{eqnarray}$
$p$ は自然数だから不適

(ii) $q\neq1$ のとき
加法定理より
$\tan (\alpha+2\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan 2\beta}{1-\tan\alpha\tan 2\beta}$
また
$\begin{eqnarray}\tan 2\beta &=&\frac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta}\\ &=&\frac{\frac{2}{q}}{1-(\frac{1}{q})^2}\\ &=&\frac{2q}{q^2-1}\end{eqnarray}$
だから
$\begin{eqnarray}\tan (\alpha+2\beta) &=&\frac{\frac{1}{p}+\frac{2q}{q^2-1}}{1-\frac{2q}{p(q^2-1)}}\\ &=&\frac{q^2-1+2pq}{p(q^2-1)-2q}=2 \end{eqnarray}$
よって
$q^2-1+2pq=2pq^2-2p-4q$
を満たす自然数の組 $(p,q)$ を求めればよい

(ここから予備校各社は最高次が1である $p$ について解いて $q$ を絞り込んでいますが、違う方法で解きます)

$\begin{eqnarray}(2p-1)q^2-2(p+2)q-(2p-1)&=&0\\ (2p-1)(q^2-1)&=&2(p+2)q\\ (2p-1)(q+1)(q-1)&=&2(p+2)q\end{eqnarray}$
ここで $q$ と $q+1$ 、また、 $q$ と $q-1$ は連続する整数だから互いに素である。
よって $2p-1$ は $q$ の倍数であるから
$2p-1=qk$ (ただし $k\in\mathbb{N}$ )とおける
このとき
$\begin{eqnarray} qk(q+1)(q-1)&=&2(p+2)q\\ k(q^2-1)&=&(2p+4)\\ &=&2p-1+5\\ &=&qk+5\\ k(q^2-q-1)&=&5 \end{eqnarray}$
$k$ および $q^2-q-1$ は自然数であるから
$(k,q^2-q-1)=(1,5)(5,1)$
つまり
$(k,q(q-1))=(1,6)(5,2)$
よって
$(k,q)=(1,3)(5,2)$
ここで $qk=2p-1$ より $q,k$ は奇数であるから
$(k,q)=(1,3)$ のみで
$\begin{eqnarray} 2p-1&=&1\cdot{3}\\ p&=&2\end{eqnarray}$

以上より求める組は
$(p,q)=(2,3)$

予備校各社(駿台,河合塾,代ゼミ)の解答速報では駿台と代ゼミが逆の確認をしていて、河合塾は特に記載されていませんでした。
この点については友人とみっちり話したんですが、おそらく加法定理を使った際に分数の解消により分母が0になる可能性が復活して同値性が崩れるからではないか、という結論に至りましたが、僕は書かないですね。別にこれくらいなら減点は数点でしょう()
書いておいて損は無いと思います。実際、バカ正直に逆の計算する必要も無いでしょうし。