2018年千葉大学数学大問2

2018年千葉大学数学大問2
下図のような1辺の長さが2の立方体に対して、対角線との交点をとする。
線分上の点と線分上の点がを満たしながら動くとき、の面積の最大値を求めよ。
ただし点は点とは一致しないものとする。

(考察)
とりあえず、 $\triangle{\mathrm{OPQ}}$ の面積を求めるには辺とか角の大きさの情報が必要です。 $\mathrm{OP}$ や $\mathrm{OQ}$ の長さはすぐにわかるので、 $\angle{\mathrm{POQ}}$ について考えてあげれば、 $\begin{eqnarray}\triangle{\mathrm{OPQ}}=\frac{1}{2}\mathrm{OP}\cdot\mathrm{OQ}\sin \angle{\mathrm{POQ}}\end{eqnarray}$ が使えそうです。

(解答)
$\triangle{\mathrm{AEF}}$ で三平方の定理を用いると
　　　　 $\mathrm{AF}=\sqrt{\mathrm{AE}^2+\mathrm{EF}^2}=2\sqrt{2}$
f:id:tamazarasi:20180328084028j:plain:w300
上図のように平面 $\mathrm{ADGF}$ を考える。
$\triangle{\mathrm{DAF}}$ で三平方の定理を用いると
　　　　 $\mathrm{DF}=\sqrt{\mathrm{AF}^2+\mathrm{AD}^2}=2\sqrt{3}$
よって
　　　　 $\begin{eqnarray}\mathrm{AO}=\mathrm{DO}=\frac{1}{2}\mathrm{DF}=\sqrt{3}\end{eqnarray}$
$\triangle{\mathrm{AOD}}$ で余弦定理より
　　　　 $\begin{eqnarray}\cos \angle{\mathrm{POQ}}&=&\frac{\mathrm{AO}^2+\mathrm{DO}^2-\mathrm{AD}^2}{2\cdot\mathrm{AO}\cdot\mathrm{DO}}\\ &=&\frac{\sqrt{3}^2+\sqrt{3}^2-2^2}{2\cdot \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}\\ &=&\frac{2}{6}\\ &=&\frac{1}{3}\end{eqnarray}$
$\begin{eqnarray}0< \angle{\mathrm{POQ}}<\pi\end{eqnarray}$ に注意すると
　　　　 $\begin{eqnarray}\sin \angle{\mathrm{POQ}}&=&\sqrt{1-\cos^2 \angle{\mathrm{POQ}}}\\ &=&\sqrt{\frac{8}{9}}\\ &=&\frac{2\sqrt{2}}{3}\end{eqnarray}$
ここで、点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AO}$ 上を動くから
　　　　 $0<\mathrm{AP}\le\sqrt{3}$
また、点 $\mathrm{Q}$ は線分 $\mathrm{DO}$ 上を動くから
　　　　 $0<2\mathrm{AP}-1\le\sqrt{3}$
これらを合わせると
　　　　 $\begin{eqnarray}\frac{1}{2}<\mathrm{AP}\le\frac{1+\sqrt{3}}{2}\end{eqnarray}$
よって
　　　　 $\begin{eqnarray}\triangle{\mathrm{OPQ}}&=&\frac{1}{2}\mathrm{OP}\cdot\mathrm{OQ}\sin \angle{\mathrm{POQ}}\\ &=&\frac{1}{2}(\mathrm{AO}-\mathrm{AP})(2\mathrm{AP}-1)\frac{2\sqrt{2}}{3}\\ &=&\frac{\sqrt{2}}{3}(\sqrt{3}-\mathrm{AP})(2\mathrm{AP}-1)\\ &=&-\frac{2\sqrt{2}}{3}(\mathrm{AP}-\sqrt{3})(\mathrm{AP}-\frac{1}{2})\end{eqnarray}$
よって、 $\triangle{\mathrm{OPQ}}$ の面積は $\begin{eqnarray}\mathrm{AP}=\frac{1}{2}(\sqrt{3}+\frac{1}{2})=\frac{1+2\sqrt{3}}{4}\end{eqnarray}$ の時に最大となる（ $\mathrm{AP}$ は上の範囲を満たす）
ゆえに、求める最大値は
　　　　 $\begin{eqnarray}\triangle{\mathrm{OPQ}}&=&-\frac{2\sqrt{2}}{3}(\mathrm{AP}-\sqrt{3})(\mathrm{AP}-\frac{1}{2})\\ &=&-\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{1+2\sqrt{3}}{4}-\sqrt{3})(\frac{1+2\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2})\\ &=&-\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{1-2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{-1+2\sqrt{3}}{4}\\ &=&\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{(2\sqrt{3}-1)^2}{16}\\ &=&\frac{\sqrt{2}(13-4\sqrt{3})}{24}\\ &=&\frac{13\sqrt{2}-4\sqrt{6}}{24}\end{eqnarray}$

前回の問題といい今回の問題といい計算が煩雑になりますね。