2018年千葉大学数学大問2
2018年千葉大学数学大問2 下図のような1辺の長さが2の立方体に対して、対角線との交点をとする。 線分上の点と線分上の点がを満たしながら動くとき、の面積の最大値を求めよ。 ただし点は点とは一致しないものとする。
(考察)
とりあえず、の面積を求めるには辺とか角の大きさの情報が必要です。やの長さはすぐにわかるので、について考えてあげれば、が使えそうです。
(解答)
で三平方の定理を用いると
上図のように平面を考える。
で三平方の定理を用いると
よって
で余弦定理より
に注意すると
ここで、点は線分上を動くから
また、点は線分上を動くから
これらを合わせると
よって
よって、の面積はの時に最大となる(は上の範囲を満たす)
ゆえに、求める最大値は
前回の問題といい今回の問題といい計算が煩雑になりますね。