2018年千葉大学数学大問2

2018年千葉大学数学大問2
下図のような1辺の長さが2の立方体\mathrm{ABCD-EFGH}に対して、対角線\mathrm{AG}\mathrm{DF}の交点を\mathrm{O}とする。
線分\mathrm{AO}上の点\mathrm{P}と線分\mathrm{DO}上の点\mathrm{Q}\mathrm{OQ}=2\mathrm{AP}-1を満たしながら動くとき、\triangle{\mathrm{OPQ}}の面積の最大値を求めよ。
ただし点\mathrm{P},\mathrm{Q}は点\mathrm{O}とは一致しないものとする。
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(考察)
とりあえず、\triangle{\mathrm{OPQ}}の面積を求めるには辺とか角の大きさの情報が必要です。\mathrm{OP}\mathrm{OQ}の長さはすぐにわかるので、\angle{\mathrm{POQ}}について考えてあげれば、\begin{eqnarray}\triangle{\mathrm{OPQ}}=\frac{1}{2}\mathrm{OP}\cdot\mathrm{OQ}\sin \angle{\mathrm{POQ}}\end{eqnarray}が使えそうです。

(解答)
\triangle{\mathrm{AEF}}三平方の定理を用いると
    \mathrm{AF}=\sqrt{\mathrm{AE}^2+\mathrm{EF}^2}=2\sqrt{2}
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上図のように平面\mathrm{ADGF}を考える。
\triangle{\mathrm{DAF}}三平方の定理を用いると
    \mathrm{DF}=\sqrt{\mathrm{AF}^2+\mathrm{AD}^2}=2\sqrt{3}
よって
    \begin{eqnarray}\mathrm{AO}=\mathrm{DO}=\frac{1}{2}\mathrm{DF}=\sqrt{3}\end{eqnarray}
\triangle{\mathrm{AOD}}余弦定理より
    \begin{eqnarray}\cos \angle{\mathrm{POQ}}&=&\frac{\mathrm{AO}^2+\mathrm{DO}^2-\mathrm{AD}^2}{2\cdot\mathrm{AO}\cdot\mathrm{DO}}\\
&=&\frac{\sqrt{3}^2+\sqrt{3}^2-2^2}{2\cdot \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}\\
&=&\frac{2}{6}\\
&=&\frac{1}{3}\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}0< \angle{\mathrm{POQ}}<\pi\end{eqnarray}に注意すると
    \begin{eqnarray}\sin \angle{\mathrm{POQ}}&=&\sqrt{1-\cos^2 \angle{\mathrm{POQ}}}\\
&=&\sqrt{\frac{8}{9}}\\
&=&\frac{2\sqrt{2}}{3}\end{eqnarray}
ここで、点\mathrm{P}は線分\mathrm{AO}上を動くから
    0<\mathrm{AP}\le\sqrt{3}
また、点\mathrm{Q}は線分\mathrm{DO}上を動くから
    0<2\mathrm{AP}-1\le\sqrt{3}
これらを合わせると
    \begin{eqnarray}\frac{1}{2}<\mathrm{AP}\le\frac{1+\sqrt{3}}{2}\end{eqnarray}
よって
    \begin{eqnarray}\triangle{\mathrm{OPQ}}&=&\frac{1}{2}\mathrm{OP}\cdot\mathrm{OQ}\sin \angle{\mathrm{POQ}}\\
&=&\frac{1}{2}(\mathrm{AO}-\mathrm{AP})(2\mathrm{AP}-1)\frac{2\sqrt{2}}{3}\\
&=&\frac{\sqrt{2}}{3}(\sqrt{3}-\mathrm{AP})(2\mathrm{AP}-1)\\
&=&-\frac{2\sqrt{2}}{3}(\mathrm{AP}-\sqrt{3})(\mathrm{AP}-\frac{1}{2})\end{eqnarray}
よって、\triangle{\mathrm{OPQ}}の面積は\begin{eqnarray}\mathrm{AP}=\frac{1}{2}(\sqrt{3}+\frac{1}{2})=\frac{1+2\sqrt{3}}{4}\end{eqnarray}の時に最大となる(\mathrm{AP}は上の範囲を満たす)
ゆえに、求める最大値は
    \begin{eqnarray}\triangle{\mathrm{OPQ}}&=&-\frac{2\sqrt{2}}{3}(\mathrm{AP}-\sqrt{3})(\mathrm{AP}-\frac{1}{2})\\
&=&-\frac{2\sqrt{2}}{3}(\frac{1+2\sqrt{3}}{4}-\sqrt{3})(\frac{1+2\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2})\\
&=&-\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{1-2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{-1+2\sqrt{3}}{4}\\
&=&\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{(2\sqrt{3}-1)^2}{16}\\
&=&\frac{\sqrt{2}(13-4\sqrt{3})}{24}\\
&=&\frac{13\sqrt{2}-4\sqrt{6}}{24}\end{eqnarray}



前回の問題といい今回の問題といい計算が煩雑になりますね。