2018年千葉大学数学大問2
2018年千葉大学数学大問2 下図のような1辺の長さが2の立方体に対して、対角線
と
の交点を
とする。 線分
上の点
と線分
上の点
が
を満たしながら動くとき、
の面積の最大値を求めよ。 ただし点
は点
とは一致しないものとする。
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(考察)
とりあえず、の面積を求めるには辺とか角の大きさの情報が必要です。
や
の長さはすぐにわかるので、
について考えてあげれば、
が使えそうです。
(解答)
で三平方の定理を用いると
上図のように平面を考える。
で三平方の定理を用いると
よって
で余弦定理より
に注意すると
ここで、点は線分
上を動くから
また、点は線分
上を動くから
これらを合わせると
よって
よって、の面積は
の時に最大となる(
は上の範囲を満たす)
ゆえに、求める最大値は
前回の問題といい今回の問題といい計算が煩雑になりますね。