数Ⅲに入って微分に躓いている

数Ⅱの微積分はとりあえず計算していればいいものでしたけど、数Ⅲ入ってからちょっと暗雲が立ち込めてますねぇ。
合成関数の微分がとにかく各所で出てくるんですよね。今日ちょっと(ちょっとどころではないが)躓いた問題を1つ。

をで表わせ。

$y^2$ の微分で躓いたわけです。

$x^2+3xy-y^2=0$ を両辺 $x$ で微分すると
$\begin{eqnarray} 2x+3(y+x\frac{d}{dx}y)-\frac{d}{dx}y^2 &=&0\\ 2x+3y+3x\frac{dy}{dx}-\frac{d}{dx}y^2 &=&0\end{eqnarray}$
ここまではできたんですが、鬼門(?)は $y^2$ です
そこで、 $y^2=(5x+4)^2$ と適当に $y$ に式を置いて考えてみました。この場合、微分は $\frac{d}{dx}y^2=2(5x+4)\cdot(5x+2)'$ です
つまり $\frac{d}{dx}y^2=2y\cdot{y}'$ ということです
元の式に戻って
$\begin{eqnarray} 2x+3y+3x\frac{dy}{dx}-\frac{d}{dx}y^2 &=&0\\ 2x+3y+3x\frac{dy}{dx}-2y\frac{dy}{dx} &=&0\\ 2x+3y+(3x-2y)\frac{dy}{dx} &=&0 \frac{dy}{dx}=-\frac{2x+3y}{3x-2y} \end{eqnarray}$
(但し $3x-2y\neq0$ )

まぁ個人用のメモ的な記事ですよね、失礼しました。