解いた問題をまとめたり

そんな作業によって僕だけじゃなくてほかの人の役にも立てたらいいなと思っています。
(2014年東大レベル模試大問3(1))
${}_{98} \mathrm{C} _0 + {}_{98} \mathrm{C} _1 + ... + {}_{98} \mathrm{C} _{98} = 28(1 + 8 + 8^2 + ... + 8^{31}) + 4$ であることを示せ。

(考え方)
大量の ${}_{98} \mathrm{C} _k$ にインパクトある問題ですが...まずはこいつを退治しましょう。右辺は等比数列の和であることが一目瞭然ですからね。でも実は定石通りに解ける問題なんです。

大量の ${}_{98} \mathrm{C} _k$ ⇒「二項定理」の出番です！

(答案)
二項定理より $(x+1)^{98} = {}_{98} \mathrm{C} _0x^{98} + {}_{98} \mathrm{C} _1x^{97}1^1 + {}_{98} \mathrm{C} _2x^{96}1^2 + ... + {}_{98} \mathrm{C} _{97}x^11^{97} + {}_{98} \mathrm{C} _{98}1^{98}$ より $x=1$ とすると
$(1+1)^{98} = {}_{98} \mathrm{C} _0 + {}_{98} \mathrm{C} _1 + {}_{98} \mathrm{C} _2 + ... + {}_{98} \mathrm{C} _{98}$
よって $(左辺) = 2^{98}$ である。～①

これで左辺の問題は解決したので右辺が $2^{98}$ になってくれることを期待して右辺を変形していきます。

$(右辺) = 28 \sum_{k=0}^{31} 8^k+4$
${} = 28 \frac{1(8^{32}-1)}{8-1}+4$
${} = 4(8^{32}-1)+4$
${} = 4($ $(2^3)$ $^{32}-1)+4$
${} = 4(2^{96}-1)+4$
${} = 4(2^{96})$
${} = 2^22^{96}$
${} = 2^{98}$
よって $(右辺) = 2^{98}$ ～②