2016年東京大学文系数学大問4
理系数学は難しいけど文系数学なら...と東大に挑戦です。
2016年東京大学文系数学大問4 以下の問いに答えよ。ただし、(1)については、結論のみを書けばよい。 (1)を正の整数とし、をで割った余りをとする。を求めよ。 (2)を正の整数とし、をで割った余りをとする。を求めよ。 (3)数列を次のように定める。 をで割った余りを求めよ。
(考察)
(1)は結論だけ書けばいいと言っていますがちゃんと答案を書いているつもりで考えた方がいいと思います。そうすれば(2)にもつながるはず。余りについての問題なので合同式が有効であることは東大受験者は気付かないといけないでしょうね。
(3)は(1)(2)を使うことをとにかく考えます。
(解答)
(1)を法として
以降これが続くので、を非負整数として
(2)を法として
以降と続き、答えは
(3)を法として
よって(2)から
同様に
繰り返して
よってと表せる整数が存在し
(1)からを法としてとなる
故に
をで割った余りは
文系数学としては難しく理系数学としては易しい問題ですかね。難易度調整がすごい。