2018年東京工業大学数学大問2

またまた整数。どうしても整数から解いてしまう癖がありますね。

2018年東京工業大学数学大問2
次の問いに答えよ
(1)を満たす整数の組を一組求めよ
(2)を満たす整数の組の中での値が最小となるもの、およびその最小値を求めよ

個人的にかなり好きな問題です。
良問なので、考察を挟みながら回答を仕上げていきます。

(考察1)
整数解が求まりづらい不定方程式は、ユークリッドの互除法を用いることが多いですね。
しかし、いつもは2変数。今回は3変数なのでさてどうしよう。
そこでよ～く、方程式を眺めてみると...係数が...
$x,y$ については7で、 $y,z$ については13で、 $z,x$ については5で括れますね。
2変数をまとめて1変数にしてしまえば3変数の方程式が2変数の方程式になるわけです！やったね！
今回は7で括りたいと思います。なぜかというと、(2)で、 $x^2+y^2$ についての話になるので、この2つをまとめておきたいと思ったからです。5で括っても13で括ってもうまくいきます。

(解答)
(1)
$\begin{eqnarray} 35x+91y+65z&=&3\\ 7(5x+13y)+65z&=&3 \end{eqnarray}$
ここで、 $5x+13y=a$ とおくと
$7a+65z=3$
(ユークリッドの互除法などを使って)この方程式の整数解の1つは $(a,z)=(19,-2)$
$a=5x+13y=19$ を解くと、例えば $(x,y)=(-4,3)$ などが得られる。
よって
$(x,y,z)=(-4,3,-2)$ （など）

(考察2)
さぁ、ここからです。
(1)を踏まえてどのように解答を作っていくのかを考えてみます。
まず、 $(5x+13y,z)$ を求めることができ、そこから $(x,y)$ も求められます。
ということは、もしかして変数をいくつか使えば一般解が得られるかも？？と想像がついたら勝負ありです。

(解答続き)
(2)
$5x+13y=a$ とおく。
$7a+65z=3$ の整数解の一つは $(a,z)=(19,-2)$ だったから、いつもの不定方程式と同じように引き算してあげれば
$7(a-19)+65(z+2)=0$ が得られ、 $m$ を整数として $(a,z)=(65m+19,-7m-2)$ が得られる

次に、 $a=5x+13y=65m+19$ を解く。

(考察3)
また3変数 $(x,y,m)$ の不定方程式が出てきてしまいましたが、13で括れますね。
ここから(1)とのつながりが見え始めます。

(解答続き)
$\begin{eqnarray} 5x+13y&=&65m+19\\ 5x+13(y-5m)&=&19\\ \end{eqnarray}$
(1)から整数解の1つとして $(x,y-5m)=(-4,3)$ などが得られるので、上と同様に
$5(x+4)+13(y-5m-3)=0$ が得られ、 $n$ を整数として $(x,y)=(13n-4,-5n+5m+3)$ が得られる。

故にこの方程式の一般解は
$(x,y,z)=(13n-4,-5n+5m+3,-7m-2)$

(考察4)
さぁ、一般解が得られました。
ですが、ここで $x^2+y^2$ に代入！としてしまっては面倒なことに...（出来ないことはないかも）
$x^2+y^2$ を小さくするためにはどうすればよいでしょう。
そもそも $x^2$ を小さくするためには...？
お判りでしょうか、絶対値を小さくしてあげればよいですね。
$|x|,|y|$ を小さくするように $(m,n)$ を定めてあげれば、完成です。
今回は（結果論ですが） $|x|,|y|$ を同時に小さくすることが可能になってくれているので
(i) $|x|$ の最小化
(ii) $|y|$ の最小化
を分けて考えた方が解答を仕上げやすいと思います。

(解答続き)
$x^2+y^2$ を最小化するには $|x|,|y|$ を最小化することを考えればよい。
(i) $|x|$ を最小化する
　この場合、 $n=0$ として、 $x=-4$ とするとよい。
　このとき、 $y=5m+3$ でこちらは $m=-1$ として $y=-2$ とするとよい。

(ii) $|y|$ を最小化する
　 $y=5(m-n)+3$ だから、 $m-n=-1$ として、 $y=-2$ とするとよい。
　このとき、 $n=m+1$ を代入して $x=13(m+1)-4$ だから、 $m+1=0$ すなわち $m=-1$ とし、 $x=-4$ とするとよい。
　このとき、 $n=0$