2018年札幌医科大学大問1

札医大です。医大の問題は特殊ですけど札医大はまだマシな方の部類...

2018年札幌医科大学数学大問1
次の各問に答えよ
(1)実数に対して
　　　　
　が成り立つとする。このときであることを証明せよ

(2)を実数とするこのとき、実数全体からなる集合の2つの部分集合
　　　　をみたす実数が存在する
　　　　すべての実数に対してが成り立つ
　を考える。このときが成り立つためのに関する必要十分条件を求めよ

(3)とし、点は、軸からの距離と点からの距離がをみたすものとする。が次の値のとき、点の軌跡を求めよ
　(ア)
　(イ)
　(ウ)

医大によくある（？）小問集合ですね。本番では絶対落とせない。

(考察)
(1)対称性がある感じの式なので、うまく対称性を作り出したらどうにかなりそう？と思えればよいのですが...
　とにかく式変形を繰り返して上手くいきそうな形になるまであきらめない。

(2)まずは $P(x),Q(x)$ を正しく導出。ここで間違うと痛い。どちらの場合も $x$ を定数とみなして、結論を得てから $x$ を変数と見なして動かす、という手法をとりたい。 $Q(x)$ のほうは $x$ の値によって上に凸、直線、下に凸に変化するので要注意。
　 $P(x) \subset Q(x)$ の定義をしっかり押さえたいですね。ベン図とか書いたときに集合 $P(x)$ が集合 $Q(x)$ にすっぽり覆われる状態になればOK。
　厳密に書くと、 $x \in P(x) \Rightarrow x \in Q(x)$ となります。
　必要十分条件を求めるので、逆の確認も忘れない事！

(3)ただただ面倒くさいだけの問題。丁寧に追いましょう。おそらく問題の背景にあるのは離心率。

(解答)
(1)
$x+y^2=y+z^2=z+x^2$ より、
　　　　 $\begin{eqnarray}x+y^2&=&y+z^2\\y+z^2&=&z+x^2\\z+x^2&=&x+y^2 \end{eqnarray}$
よって
　　　　 $\begin{eqnarray}x-y&=&(z+y)(z-y)\\y-z&=&(x+z)(x-z)\\z-x&=&(y+x)(y-x) \end{eqnarray}$
1式目に2式目を代入すると
　　　　 $\begin{eqnarray}x-y&=&-(z+y)(y-z)\\ &=&-(z+y)(x+z)(x-z)\\ y-x&=&(z+y)(x+z)(x-z) \end{eqnarray}$
これを3式目に代入すると
　　　　 $\begin{eqnarray}z-x&=&(y+x)(z+y)(x+z)(x-z) \end{eqnarray}$
ここで、 $x\neq z$ と仮定すると
　　　　 $-1=(x+y)(y+z)(z+x)$
となるが、問題の仮定より $x+y \ge 0,y+z \ge 0,z+x\ge 0$ すなわち $(x+y)(y+z)(z+x) \ge 0$
よって左辺が負なので矛盾。 $x=z$ である。
この式を与えられた式に代入すると
　　　　 $z+y^2=y+z^2=z+z^2$
後ろ2つの式から $y=z$ が得られ、 $x=y=z$ を得る。

(2)
「 $t^2+xt+|y|=0$ をみたす実数 $t$ が存在する」とは、この方程式の判別式 $D_1$ が $D_1 \ge 0$ であることだから
　　　　 $D_1=x^2-4|y| \ge 0$
すなわち
　　　　 $\begin{eqnarray}-\frac{1}{4}x^2 \le y\le\frac{1}{4}x^2 \end{eqnarray}$
よって
　　　　 $\begin{eqnarray} P(x)=\{y|-\frac{1}{4}x^2 \le y\le\frac{1}{4}x^2 \}\end{eqnarray}$

「すべての実数 $t$ に対して $xt^2+yt+1>0$ が成り立つ」について考える。
・ $x>0$ のとき
　左辺は下に凸の二次関数のグラフを描くので、 $xt^2+yt+1=0$ が実数解を持たなければよい
　つまりこの方程式の判別式 $D_2$ が $D_2<0$ を満たせばよい
　　　　 $D_2=y^2-4x<0$
　よって
　　　　 $\begin{eqnarray} x>\frac{1}{4}y^2 \end{eqnarray}$

・ $x=0$ のとき
　 $xt^2+yt+1>0$ は $yt+1>0$ となる。
　(i) $y=0$ のとき
　　すべての実数 $y$ に対して $1>0$ となり、これは適。
　(ii) $y \neq 0$ のとき
　　 $t=-\frac{1}{y}$ とすれば $yt+1=0$ となるため、条件を満たす $y$ は存在しない
　(i)(ii)より
　　　　 $y=0$

・ $x<0$ のとき
　左辺は上に凸の二次関数のグラフを描くため、必ず負の値をとるような $t$ が存在する。
　よって、条件に合うような $y$ は存在しない

以上より
　　　　 $Q(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \begin{eqnarray} x>\frac{1}{4}y^2 \end{eqnarray} & (x>0) \\ 0 & (x=0) \end{array} \right.$

$P(x),Q(x)$ を図示すると次のようになる

f:id:tamazarasi:20180304022855j:plain:w300 — 青:P(x)　赤:Q(x)

図から $P(x) \subset Q(x)$ となっている $x$ の範囲は $0 \le x < 4$ とわかる

(3)
$d_1=x,d_2=\sqrt{(x-2)^2+y^2}$ であり、 $ad_1=d_2 \Rightarrow a^2d_1^2=d_2^2$ だから
　　　　 $a^2x^2=(x-2)^2+y^2$
　(ア) $a=\frac{1}{2}$
　　　　 $\begin{eqnarray}(x-\frac{8}{3})^2+\frac{4}{3}y^2=\frac{16}{9}\end{eqnarray}$
　　　つまり
　　　　楕円 $\begin{eqnarray}\frac{(x-\frac{8}{3})^2}{(\frac{4}{3})^2}+\frac{y^2}{(\frac{2}{\sqrt{3}})^2}=1\end{eqnarray}$

　(イ) $a=1$
　　　　 $\begin{eqnarray}x=\frac{1}{4}y^2+1\end{eqnarray}$
　　　つまり
　　　　放物線 $\begin{eqnarray}x=\frac{1}{4}y^2+1\end{eqnarray}$

　(ウ) $a=2$
　　　　 $\begin{eqnarray}(x+\frac{2}{3})^2-\frac{1}{3}y^2=\frac{16}{9}\end{eqnarray}$
　　　つまり
　　　　双曲線 $\begin{eqnarray}\frac{(x+\frac{2}{3})^2}{(\frac{16}{9})^2}-\frac{y^2}{(\frac{4}{\sqrt{3}})^2}=1\end{eqnarray}$

基本が詰まったような問題ですね。(2)の範囲の等号ミスに気を付けましょう