2018年京都大学理系数学大問2

大学入試問題 数Ａ 数学

お久しぶりです。生きてます。
入試シーズンですね、入試数学大好きな僕にとっては新作問題が入手できてうれしい時期です。
何問か解いたので、まとめていきます。

2018年京都大学理系数学大問2
n^3-7n+9が素数となるような整数nをすべて求めよ。

難易度としては、旧帝大以下で出題されてもおかしく無い難易度だと思います。流石に京大レベルではない...どうした京大。

(考察1)
求めるnが自然数ではなく、整数であることに注意しましょう。負の数でも答えになりうるわけですね。
整数問題に慣れている方は、飛ばしても大丈夫ですが、とりあえず初手としては実験を行うのがよいと思います。

(実験)
f(n)=n^3-7n+9とする。
f(0)=9
f(1)=1-7+9=3
f(2)=8-14+9=3
f(3)=27-21+9=15

(考察2)
上の実験から、
「もしかしてこれは3の倍数にしかならないのでは？？？」
と思えた方は、整数問題の力がある程度ついていると思います。または勘の良い方。
もしも、3の倍数にしかならないとしたら、素数としてあり得る値は3しかないですよね。
そして、倍数の判定には合同式が有効でした。
それを踏まえて以下のように解答を仕上げてみます。

(解答1)
f(n)=n^3-7n+9とし、以下、法を3とする。
・n\equiv0のとき
　f(n)\equiv0^3-0+9\equiv0
・n\equiv1のとき
　f(n)\equiv1^3-7+9=3\equiv0
・n\equiv-1のとき
　f(n)\equiv(-1)^3+7+9=15\equiv0

よって任意の整数nに対してf(n)は3の倍数。

3の倍数のうち素数であるのは3のみ。
f(n)=3を解くと、
\begin{eqnarray} n^3-7n+9&=&3\\ n^3-7n+6&=&0\\ (n-1)(n-2)(n+3)&=&0\\ n&=&1,2,-3 \end{eqnarray}


(解答2)
\begin{eqnarray} n^3-7n+9&=&(n-1)n(n+1)-6n+9\\ &=&(n-1)n(n+1)-3(2n-3) \end{eqnarray}
連続3整数は3の倍数だから、f(n)は3の倍数になる
以下、(解答1)と同じ



解答2は、連続3整数が3の倍数であることから、n^3を強引に作るようにしてあげればうまくいくわけですね。
とはいえ、思いつかなくても合同式を使えば、簡単に確認できますからおすすめですよ！