2016年京都大学理系数学大問2
明日は休みなのでこんな時間から書きます。
2016年京都大学理系数学大問2 素数を用いてと表される素数をすべて求めよ。
(考察)
素数と来たら僕はまずの存在を考えるようにしてます。唯一の偶数ですから。
少なくともは以上ですからは容易にわかります。まぁこれで両方ともでないことはわかります。
同様に両方とも奇数を考えて見ても、これまたそうでないことがわかります。
つまり、のうち一方はであることがわかります。
さらに今回の問題で大きな手がかりとなる条件は「素数」です。まっさきに僕が思いつくのは「以上の素数は全てもしくはで表せる」ですね。つまりで割ったら余りはかってことですから合同式で攻めようかな、と考えました。
考察長すぎかなぁ?
(解答)
の偶奇が異なることを示す
がどちらも偶数、つまりであるとき
よって素数にならず不適
がどちらも奇数であるとき(として)
より
同様に
よって
よってで割り切れこれは素数ではなく不適
よってのうち一方は偶数、つまりである
は対称だからどちらをとしてもよい
よってとする
つまりが素数となるを求める
ここでを自然数として素数をで表す方法を考える
(は明らかにの倍数)
はの倍数
はの倍数であるが
は共通因数をくくることが出来ない。また、が自然数のときだから
以上のすべての素数はもしくはで表せる
ことがわかる
を以上とするととはを法としてもしくはと合同である(以下、法をとする)
(i)のとき
より
よってとなる
つまりがで割り切れなければならないがは明らかにを因数に含まないから
とはならない
よって不適
(ii)のとき
(i)同様
よってとなる
となるがは以上の素数だから必ず奇数なので
よって不適
(i)(ii)よりつまりの候補はのみ
このときとなりは素数になる
故に題意を満たす素数は
素数の表し方を答案に書くべきか否かはよくわからなかったので書きました。でも、この書き方でいいのかは不明です。
簡単目でしょうか?
ミスや誤植があればご報告ください...
(追記)
同年東北大学の入試問題でも素数を用いた方程式が出題されていました。こちらもどうぞ。2016年東北大学理系数学大問2