2018年北海道大学理系数学大問4

学習指導要領の変更によりカテゴリの「数Ⅰ」「数Ⅱ」とかが意味を成さなくなってしまうことに気づいてしまいました

2018年北海道大学理系数学大問4
座標平面上に3点がある。条件
　　　　
を満たす点の全体をとする。
(1)を座標平面上に図示せよ。またとなるすべての点の座標を求めよ。
(2)とし、を点とする。条件を満たすの点が存在するようなの値の範囲を求めよ。

(考察)
(1) $\mathrm{Q}$ の座標が与えられているのがなんとも優しい。素直に計算してあげればOK
(2)難しい。とりあえず条件を求めるところまでできれば十分な部分点がもらえそうです。本番は捨ててもよいかもしれませんね。図示とかしてるし線形計画法的な感じかな～と思いつくかどうか。

(解答)
(1)
$\mathrm{BQ} \ge \mathrm{OQ} \ge 2\mathrm{AQ}$ で、すべて正だから
　　　　 $\mathrm{BQ}^2 \ge \mathrm{OQ}^2 \ge 4\mathrm{AQ}^2$
距離の公式をそのまま当てはめると
　　　　 $\begin{eqnarray}(x-11)^2+(y-11)^2 \ge x^2+y^2 \ge 4\{(x-\frac{15}{2})^2+y^2\}\end{eqnarray}$
これを整理すると
　　　　 $y\le -x+11,(x-10)^2+y^2 \le 25$
これらを図示すると
　　　　

f:id:tamazarasi:20180305021428j:plain — 濃い色の部分が求める範囲

等号成立は2つのグラフの交点。円を式に直線の式を代入すると
　　　　 $\begin{eqnarray}(x-10)^2+(-x+11)^2&=&25\\ 2x^2-42x+196&=&0\\ x-21x+98&=&0\\ (x-7)(x-14)&=&0\\ x&=&7,14 \end{eqnarray}$
これを直線の式に代入すると $(7,4),(14,-3)$ が得られる。

(2)
$\mathrm{OQ} \ge \mathrm{PQ}$ で、両辺正より $\mathrm{OQ}^2 \ge \mathrm{PQ}^2$
距離の公式をあてはめて
　　　　 $\begin{eqnarray}x^2+y^2 &\ge& (x-p)^2+(y-11)^2\\ 22y &\ge& -2px+p^2+121\\ y&\ge& -\frac{p}{11}x+\frac{p^2+121}{22}\end{eqnarray}$

(考察2)
ここで直線の式が出てきましたが、線形計画法などでも注意が必要なのが、直線の傾きです。
今基準となる傾きは $D$ で使われている直線の傾きである「 $-1$ 」です。

f:id:tamazarasi:20180305023936j:plain:w300 — 例1：傾き-10/11

f:id:tamazarasi:20180305025739j:plain:w300 — 例2:傾き-3（実際の直線とは異なります）

今回は $p$ が $0 < p\le 11$ という範囲のもとで動くので傾き $\begin{eqnarray}-\frac{p}{11}\end{eqnarray}$ は $\begin{eqnarray}-1 \le -\frac{p}{11} <0\end{eqnarray}$ という範囲で動きます。平たく言えば、 $D$ の直線部分よりも寝ている直線しか出来ないわけですね。
そのため、鉛筆などを寝かせて動かしてあげると少しわかりやすくなるのですが、今求めた条件を満たす点が存在する条件は(1)で求めた点のうち $(7,4)$ のほうが求めた条件に含まれるということが分かります。
これはあくまで条件の直線部分の傾きが寝ているからの話であり、上の例2はそれが成り立っていないことが分かると思います。（その場合は $(14,-3)$ が含まれるというのが条件になります）

(解答続き)
問題の $p$ の範囲から $\begin{eqnarray}-1 \le -\frac{p}{11} <0\end{eqnarray}$ がわかる。
よって
　　　　 $D$ 内の点で条件を満たす点が存在する $\Leftrightarrow$ $(7,4)$ が $\begin{eqnarray}y&\ge& -\frac{p}{11}x+\frac{p^2+121}{22}\end{eqnarray}$ に含まれる
となる。
つまり
　　　　 $\begin{eqnarray}4&\ge&-\frac{p}{11}\cdot 7+\frac{p^2+121}{22}\\ 88&\ge&-14p+p^2+121\\ p^2-14p+33&\le& 0\\ (p-11)(p-3)&\le& 0\\ \end{eqnarray}$
つまり、求める範囲は $3\le p\le 11$