2018年北海道大学理系数学大問3
得意だったはずの「順列」や「確率」ですが、高校数学から離れて1年。結構時間を食われました。恐るべし、時間の経過。
2018年北海道大学理系数学大問3 数字の2が書かれたカードが2枚、同様に、数字の0,1,8が書かれたカードがそれぞれ2枚、あわせて8枚のカードがある。これらから4枚を取り出し、横一列に並べてできる自然数をとする。ただし、0のカードが左から1枚または2枚現れる場合は、を3桁または2桁の自然数とそれぞれ考える。例えば、左から順に0,0,1,1の数字のカードが並ぶ場合のは11である。 (1)は整数とする。がの倍数になることとがの倍数になることは同値であることを示せ。 (2)がの倍数である確率を求めよ。 (3)が偶数であったとき、がの倍数である確率を求めよ。
(考察)
問題文があまりよくないですね。4枚出したら普通順番までは確定しないでしょうから...
まぁ、ここは、4枚を順に取り出して左から並べるとでも考えておきましょう。
(1)は9で割ってあげれば解答の形が見えてきます。3の倍数についても同じ議論ができますね。
(2)(3)は基本問題といったところでしょうか。何パターンか書き出して考察をしていけば、完答できるでしょう。
基本的な問題なので、合否を分ける問題になったのではないかと思います。
(解答)
(1)
であることから、
・がの倍数であるとき
整数を用いてと書けるから、
は整数だからはの倍数になる
逆に
・がの倍数であるとき
整数を用いてと書けるから、
は整数だからはの倍数になる
以上より、がの倍数になることとがの倍数になることは同値である
(2)
(確率の話なので)数字が同じでもすべてのカードを区別して考える
4枚のカードの和が9の倍数となるようなものを考えればよい
4枚のカードの和の最小値はで、最大値はであるから、4枚のカードの和が9の倍数となるとき、その値はのいずれかである。
・4枚のカードの和がのとき
このような数字の組み合わせはのみ
このときのカードの選び方は
(2枚ある0のうち2枚選ぶ)かつ(2枚ある1のうち1枚選ぶ)かつ(2枚ある8のうち1枚選ぶ)なので
この選んだ4枚を区別して並べるので通り
・4枚のカードの和がのとき
このような数字のの組み合わせはの2通り
となるカードの選び方は
(2枚ある0のうち1枚選ぶ)かつ(2枚ある2のうち1枚選ぶ)かつ(2枚ある8のうち2枚選ぶ)なので
この選んだ4枚を区別して並べるので通り
となるカードの取り出し方は
(2枚ある1のうち2枚取り出す)かつ(2枚ある8のうち2枚取り出す)なので
この選んだ4枚を区別して並べるので通り
よって、4枚のカードの和が9の倍数となるようなカードの取り出し方は通り。
4枚のカードの取り出し方は全部で通り。
よって、求める確率は
(3)
事象を「が偶数である」、事象を「がの倍数である」としたときの条件付き確率
を求めればよい。
・を求める
が偶数となるには、一の位の数字が偶数であればよいから、一の位の数字が1以外であればよい。
よって
・を求める
(i)のとき
一の位がであるものはそれぞれ同じ数だけ存在するので、一の位がのいずれかであるものは(は2つを区別する)
通り
(ii)のとき
このとき、どのように並べても作られるは偶数。よって
通り
(iii)のとき
一の位がのいずれかであるものは
通り
全取り出し方は(2)と同様に通りであるから、
以上より
(3)は(2)の場合分けで得られた組み合わせの数からどれくらいの割合、偶数が存在しているのかを考えると楽に計算ができるようになります。
(個人的には入力作業がつらい問題でした)