2018年北海道大学理系数学大問1

地元の大学を。

2018年北海道大学理系数学大問1
座標空間の4点に対し、
　　　　
とおく。ただし、は原点、は実数とする
(1)と内積をで表せ。
(2)のとき、ベクトルとのなす角がとなるようなの値を求めよ。
(3)とが実数をうごくときの最小値を求めよ。

各予備校の判断も易だった、易しめの問題です。北大はこのような基礎を問う問題が出題されるのでぜひ押さえておきたい問題です。

(考察)
あまり考察することもないですが、計算量はまぁまぁあるので丁寧に計算しましょう。
内積は、 $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \theta$ と成分表示の2パターンの求め方ができることは必ず押さえましょう
ベクトルの大きさは2乗するとルートが外れたり内積が登場したりして扱いやすくなります。

(解答)
(1)
$\begin{eqnarray} \overrightarrow{p}&=&(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\\ &=&(1-t)(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0)+t(0,0,1)\\ &=&(-\frac{\sqrt{3}(1-t)}{2},\frac{1-t}{2},t) \end{eqnarray}$
より、
$\begin{eqnarray}|\overrightarrow{p}|^2&=&\{-\frac{\sqrt{3}(1-t)}{2}\}^2+(\frac{1-t}{2})^2+t^2\\ &=&\frac{3}{4}(1-t)^2+\frac{(1-t)^2}{4}+t^2\\ &=&2t^2-2t+1 \end{eqnarray}$
よって
$|\overrightarrow{p}|=\sqrt{2t^2-2t+1}$

$\begin{eqnarray} \overrightarrow{q}&=&(1-s)\overrightarrow{OC}+s\overrightarrow{OD}\\ &=&(1-s)(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},-1)+s(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},-1)\\ &=&(s-\frac{1}{2},\sqrt{3}(s-\frac{1}{2}),-1) \end{eqnarray}$
より、同様にして
$|\overrightarrow{q}|=\sqrt{4s^2-4s+2}$

$\begin{eqnarray} \overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}&=&(-\frac{\sqrt{3}(1-t)}{2},\frac{1-t}{2},t)\cdot(s-\frac{1}{2},\sqrt{3}(s-\frac{1}{2}),-1)\\ &=&-\frac{\sqrt{3}(1-t)}{2}(s-\frac{1}{2})+\frac{1-t}{2}\sqrt{3}(s-\frac{1}{2})+t\cdot(-1)\\ &=&-t \end{eqnarray}$

(2)
$\cos\frac{3}{4}\pi=\frac{\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{p}||\overrightarrow{q}|}$ だから $t=\frac{1}{2}$ より
$\begin{eqnarray}-\frac{\sqrt{2}}{2}&=&\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{2\cdot(\frac{1}{2})^2-2\cdot\frac{1}{2}+1}\sqrt{4s^2-4s+2}}\\ \sqrt{4s^2-4s+2}&=&1\\ 4s^2-4s+2&=&1\\ 4s^2-4s+1&=&0\\ (2s-1)^2&=&0\\ s&=&\frac{1}{2} \end{eqnarray}$

(3)
$\begin{eqnarray}|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}|^2&=&|\overrightarrow{p}|^2-2\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}+|\overrightarrow{q}|^2\\ &=&2t^2-2t+1-2(-t)+4s^2-4s+2\\ &=&2t^2+(2s-1)^2+2\end{eqnarray}$
より、
$t=0,s=\frac{1}{2}$ のときに最小値 $\sqrt{2}$

(1)で求めた値が間違っていると雪崩式に失点することになるので注意！
(2)と(3)がほとんど関係ないのが残念な感じの問題ですね。これなら(2)いらない...
(3)は予選決勝法かと思いきや、独立して2乗の項が作れたので面白みのない感じになってしまいましたね。
北大らしい良い意味でも悪い意味でも外してくる問題でした。