2018年千葉大学数学大問1

千葉大の問題毎年好きです。まだ途中の大学もたくさんあるのに、こっちも全部解いてみようかなとか思ったり。

2018年千葉大学数学大問1
を実数とし、とする。
(1)に関する2次方程式が実数解をもつようなの値の範囲を求めよ。
(2)のどんな値に対してもであることを示せ。

(考察)
難易度は易しいですよね。
(1)判別式で一発
(2)とりあえず代入して、あとは $a$ についての2次方程式と見なして考えてあげればOK

(解答)
(1)
$f(x)=0$ が実数解を持つためには、この方程式の判別式 $D$ が $D>0$ を満たせばよい。
　　　　 $\begin{eqnarray}\frac{D}{4}&=&(2a)^2-2(3a^2-4a+1)\\ &=&4a^2-6a^2+8a-2\\ &=&-2a^2+8a-2\ge 0 \end{eqnarray}$
つまり
　　　　 $\begin{eqnarray}a^2-4a+1&\le& 0\end{eqnarray}$
これを整理すると
　　　　 $2-\sqrt{3}\le a\le 2+\sqrt{3}$

(2)
$\begin{eqnarray}f(2+\sqrt{5})&=&2(2+\sqrt{5})^2-4a(2+\sqrt{5})+3a^2-4a+1\\ &=&2(4+5+4\sqrt{5})-4(3+\sqrt{5})a+3a^2+1\\ &=&3a^2-4(3+\sqrt{5})a+19+8\sqrt{5}\\ &=&3\{a^2-\frac{4(3+\sqrt{5})}{3}a\}+19+8\sqrt{5}\\ &=&3\{(a-\frac{2(3+\sqrt{5})}{3})^2-(\frac{2(3+\sqrt{5})}{3})^2\}+19+8\sqrt{5}\\ &=&3\{a-\frac{2(3+\sqrt{5})}{3}\}^2-\frac{4(14+6\sqrt{5})}{3}+19+8\sqrt{5}\\ &=&3\{a-\frac{2(3+\sqrt{5})}{3}\}^2+\frac{1}{3}\\\end{eqnarray}$
であるから、
　　　　 $\begin{eqnarray}f(2+\sqrt{5})\ge \frac{1}{3} >0\end{eqnarray}$

まぁ一応細かく書きましたが、要は平方完成すればいいだけです