k^n(n:自然数)

思いのままに書き綴ります

2018年千葉大学数学大問1

千葉大の問題毎年好きです。まだ途中の大学もたくさんあるのに、こっちも全部解いてみようかなとか思ったり。

2018年千葉大学数学大問1
aを実数とし、f(x)=2x^2-4ax+3a^2-4a+1とする。
(1)xに関する2次方程式f(x)=0が実数解をもつようなaの値の範囲を求めよ。
(2)aのどんな値に対してもf(2+\sqrt{5})>0であることを示せ。

(考察)
難易度は易しいですよね。
(1)判別式で一発
(2)とりあえず代入して、あとはaについての2次方程式と見なして考えてあげればOK


(解答)
(1)
f(x)=0が実数解を持つためには、この方程式の判別式DD>0を満たせばよい。
    \begin{eqnarray}\frac{D}{4}&=&(2a)^2-2(3a^2-4a+1)\\
&=&4a^2-6a^2+8a-2\\
&=&-2a^2+8a-2\ge 0
\end{eqnarray}
つまり
    \begin{eqnarray}a^2-4a+1&\le& 0\end{eqnarray}
これを整理すると
    2-\sqrt{3}\le a\le 2+\sqrt{3}

(2)
\begin{eqnarray}f(2+\sqrt{5})&=&2(2+\sqrt{5})^2-4a(2+\sqrt{5})+3a^2-4a+1\\
&=&2(4+5+4\sqrt{5})-4(3+\sqrt{5})a+3a^2+1\\
&=&3a^2-4(3+\sqrt{5})a+19+8\sqrt{5}\\
&=&3\{a^2-\frac{4(3+\sqrt{5})}{3}a\}+19+8\sqrt{5}\\
&=&3\{(a-\frac{2(3+\sqrt{5})}{3})^2-(\frac{2(3+\sqrt{5})}{3})^2\}+19+8\sqrt{5}\\
&=&3\{a-\frac{2(3+\sqrt{5})}{3}\}^2-\frac{4(14+6\sqrt{5})}{3}+19+8\sqrt{5}\\
&=&3\{a-\frac{2(3+\sqrt{5})}{3}\}^2+\frac{1}{3}\\\end{eqnarray}
であるから、
    \begin{eqnarray}f(2+\sqrt{5})\ge \frac{1}{3} >0\end{eqnarray}



まぁ一応細かく書きましたが、要は平方完成すればいいだけです