k^n(n:自然数)

数学とときどき競技クイズ。

自作数学問題bot[47]

なんでこんな時間まで起きてるんだろう。

(考察1)
(i)は形からして、相反方程式を連想できなきゃマズいですね。受験生なら。


(解答)
(i)
\begin{eqnarray}t=x+\frac{6}{x}\end{eqnarray}とおくと、\begin{eqnarray}t^2=x^2+\frac{36}{x^2}+12\end{eqnarray}であり、与えられた方程式は
    \begin{eqnarray}x^2-8x+19-\frac{48}{x}+\frac{36}{x^2}&=&0\\
(x^2+\frac{36}{x^2})-8(x+\frac{6}{x})+19&=&0\\
(t^2-12)-8t+19&=&0\\
t^2-8t+7&=&0\\
(t-1)(t-7)&=&0\\
t&=&1,7\\
x+\frac{6}{x}&=&1,7\\
x^2+6&=&x,7x
\end{eqnarray}
よって
    x^2-x+6=0,x^2-7x+6=0
となり、それぞれ
    (x-3)(x+2)=0,(x-1)(x-6)=0
となるから
    x=-2,1,3,6



(考察2)
相反方程式のポイントは上手い置換が思いつくように適当に括ってみることです。与えられた方程式を変形すると
    \begin{eqnarray}x^4-8x^2+12x+7-\frac{48}{x}+\frac{36}{x^2}&=&0\\
x^4-8(x^2+\frac{6}{x})+12x+7+\frac{36}{x^2}&=&0
\end{eqnarray}
となるので\begin{eqnarray}t=x^2+\frac{6}{x}\end{eqnarray}と置換してみると\begin{eqnarray}t^2=x^4+\frac{36}{x^2}+12x\end{eqnarray}となり、与えられた方程式に出てきたようなものがゴロゴロ出てくるので、こいつを使ってみる。



(解答続き)
\begin{eqnarray}t=x^2+\frac{6}{x}\end{eqnarray}とおくと、\begin{eqnarray}t^2=x^4+\frac{36}{x^2}+12x\end{eqnarray}となり、与えられた方程式は
    \begin{eqnarray}x^4-8x^2+12x+7-\frac{48}{x}+\frac{36}{x^2}&=&0\\
x^4+12x+\frac{36}{x^2}-8(x^2+\frac{6}{x})+7&=&0\\
t^2-8t+7&=&0\\
(t-1)(t-7)&=&0\\
t&=&1,7\\
x^2+\frac{6}{x}&=&1,7\\
x^3+6&=&x,7x
\end{eqnarray}
よって
    x^3-x+6=0,x^3-7x+6=0
となり、それぞれ
    (x+2)(x^2-2x+3)=0,(x-1)(x+3)(x-2)=0
となるから、
    x=-3,\pm 2,1,1\pm\sqrt{2}i



(ii)は思いつけば、って感じですが、こういうタイプの置換もあるってことくらいは頭の片隅にあるとよいかもしれませんね!