k^n(n:自然数)

思いのままに書き綴ります

2018年東北大学理系数学大問3

整数です。好き。

2018年東北大学理系数学大問3
整数a,bは等式
    3^a-2^b=1        …①
を満たしているとする。
(1)a,bはともに正となることを示せ。
(2)b>1ならば、aは偶数であることを示せ。
(3)①を満たす整数の組(a,b)をすべてあげよ。

誘導が丁寧ですね

(考察)
(1)直接示していくか、背理法で示していくか。個人的には背理法のほうがやりやすいかなと思いますが、これは人それぞれだと思います。
(2)合同式が思いつくと瞬殺できそう。aがの偶奇をテーマにしているので(-1)^aとかの形が出てきたら都合がよさそうですね。うまく法を考えてあげると4が見つかります。
(3)これまでの小問を活かします。(2)がかなり効きます。整数問題の定石「因数分解」が(2)のおかげで使えるようになります。


(解答)
(1)
背理法で示す
a\le 0のとき
    \begin{eqnarray}3^a&\le& 1\\
1+2^b&\le& 1(\because 3^a-2^b=1)\\
2^b&\le& 0\end{eqnarray}
2^b>0よりこれは矛盾。a>0である。
b\le 0のとき
    \begin{eqnarray}2^b&\le& 1\\
3^a-1 &\le& 1(\because 3^a-2^b=1)\\
3^a&\le&2<3^1\end{eqnarray}
aは整数であるからa\le 0だが、上で示したようにa>0だから矛盾。b>0である。
以上よりa,bはともに正となる。

(2)
以下、法を4とする。
bは整数だからb>1とはb\ge 2であるから2^b\ge 4となり、
    2^b\equiv 0
である。
3^a-2^b=1 \Rightarrow 3^a-2^b\equiv 1であるから、
    3^a\equiv 1
である。
また、3\equiv -1であるから、3^a\equiv(-1)^aとなり、a'自然数として
    3^a\equiv \begin{cases}
    1 & (a=2a') \\
    -1 & (a=2a'-1)
  \end{cases}
であるからb>1ならば、aは偶数である。

(3)
(i)b=1のとき
 3^a=3となるからa=1

(ii)b>1つまりb\ge 2のとき
 (2)よりa'自然数としてa=2a'と書ける。
 よって
    \begin{eqnarray}3^a-2^b&=&1\\
3^{2a'}-1&=&2^b\\
(3^{a'}+1)(3^{a'}-1)&=&2^b\end{eqnarray}
 3^{a'}+13^{a'}-1も2以上の整数だから、どちらも素因数は2しか持たない。
 よってk自然数として
    3^{a'}-1=2^k
 とおくと
    \begin{eqnarray}3^{a'}+1&=&2^k+2\\
&=&2(2^{k-1}+1)\end{eqnarray}
 k-1\ge 1のとき、2^{k-1}+1は奇数となってしまい、3^{a'}+1が素因数を2しか持たないことに反する。
 よって、k-1=0すなわちk=1であり、このときa'=1となる。
 これを計算していくと(a,b)=(2,3)が得られる。

(i)(ii)より
    (a,b)=(1,1),(2,3)


なんだかんだ定石通りの問題です。しっかり理解しましょう