k^n(n:自然数)

数学とときどき競技クイズ。

2018年東北大学理系数学大問1

南下しまして東北大です。

2018年東北大学理系数学大問1
xy平面における2つの放物線C:y=(x-a)^2+b,D:y=-x^2を考える。
(1)CDが異なる2点で交わり、その2交点のx座標の差が1となるように実数a,bが動くとき、Cの頂点(a,b)の軌跡を図示せよ。
(2)実数a,bが(1)の条件を満たしながら動くとき、CDの2交点を結ぶ直線が通過する範囲を求め、図示せよ。

こちらは易問。(2)までちゃんと得点しましょう。

(考察)
(1)まずは判別式を使って実数解を持つ条件を出します。それから、実際に解を求めて、差をとって考えてあげてもよいし、かっこよく「解と係数の関係」と「基本対称式」を使ってあげるのもおしゃれですね。今回はおしゃれに後者で。
(2)よくある問題ですね。こういう問題はa,bいずれかの文字だけにまとめてあげて、その文字が実数になるように、いろいろ工夫してあげるという定石通りの解法です。


(解答)
(1)
2交点のx座標を\alpha , \betaとおく(\alpha < \beta)
このとき、\alpha , \betaCDを連立した方程式
    (x-a)^2+b=-x^2
の解になる。
これを整理すると
    2x^2-2ax+a^2+b=0
である。
これが異なる2つの実数解を持つためには判別式\frac{D_1}{4}=a^2-2a^2-2b=-a^2-2b>0が条件。つまり
    \begin{eqnarray}b<-\frac{1}{2}a^2\end{eqnarray}
また、解と係数の関係から
    \begin{eqnarray}\alpha+\beta&=&a\\
\alpha\beta&=&\frac{a^2+b}{2}\end{eqnarray}
いま、x座標の差が1だから、\beta-\alpha=1であるから、
    \begin{eqnarray}(\beta-\alpha)^2&=&1\\
\alpha^2-2\alpha\beta+\beta^2&=&1\\
(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=1\\
a^2-4\cdot\frac{a^2+b}{2}&=&1\\
a^2-2a^2-2b&=&1\\
b&=&-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}\end{eqnarray}
これは上で求めた条件を満たすので、求める軌跡は次の図。
f:id:tamazarasi:20180308141702j:plain:w300

(2)
(1)より2交点のx座標を求める方程式は
    \begin{eqnarray}2x^2-2ax+a^2-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}&=&0\\
4x^2-4ax+a^2-1&=&0\\
\{2x-(a+1)\}\{2x-(a-1)\}&=&0\\
x&=&\frac{a+1}{2},\frac{a-1}{2}\end{eqnarray}
よって、2交点は\begin{eqnarray}(\frac{a+1}{2},-\frac{a^2+2a+1}{4}),(\frac{a-1}{2},-\frac{a^2-2a+1}{4})\end{eqnarray}
この2点を通る直線の方程式は
    \begin{eqnarray}y+\frac{a^2+2a+1}{4}&=&\frac{-\frac{a^2+2a+1}{4}+\frac{a^2-2a+1}{4}}{\frac{a+1}{2}-\frac{a-1}{2}}(x-\frac{a+1}{2})\\
y&=&-a(x-\frac{a+1}{2})-\frac{a^2+2a+1}{4}\\
4y&=&-2a(2x-a-1)-a^2-2a-1\\
4y&=&-4ax+a^2-1\end{eqnarray}
今、aが実数全体をうごくので、aについての2次方程式a^2-4xa-4y-1=0の判別式D_2D_2 \ge 0となる。
    \begin{eqnarray}\frac{D_2}{4}=4x^2+4y+1&\ge &0\\
y &\ge &-x^2-\frac{1}{4}\end{eqnarray}
よって、直線が通過する範囲は以下の図(境界を含む)。
f:id:tamazarasi:20180308141853j:plain:w300



(2)で使った考え方はよく使うので覚えておくとよいでしょう。aが実数になるようにうまく条件式を見つけてあげればOKです。
後期試験の問題も早く解きたいですね~