k^n(n:自然数)

思いのままに書き綴ります

2018年札幌医科大学大問1

医大です。医大の問題は特殊ですけど札医大はまだマシな方の部類...

2018年札幌医科大学数学大問1
次の各問に答えよ
(1)実数x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0に対して
    x+y^2=y+z^2=z+x^2
 が成り立つとする。このときx=y=zであることを証明せよ

(2)xを実数とするこのとき、実数全体からなる集合の2つの部分集合
    P(x) = \{y|t^2+xt+|y|=0をみたす実数tが存在する \}
    Q(x) = \{y|すべての実数tに対してxt^2+yt+1>0が成り立つ \}
 を考える。このときP(x) \subset Q(x)が成り立つためのxに関する必要十分条件を求めよ

(3)a>0とし、点P(x,y)は、y軸からの距離d_1と点(2,0)からの距離d_2ad_1=d_2をみたすものとする。aが次の値のとき、点P(x,y)の軌跡を求めよ
 (ア)a=\frac{1}{2}
 (イ)a=1
 (ウ)a=2

医大によくある(?)小問集合ですね。本番では絶対落とせない。

(考察)
(1)対称性がある感じの式なので、うまく対称性を作り出したらどうにかなりそう?と思えればよいのですが...
  とにかく式変形を繰り返して上手くいきそうな形になるまであきらめない。

(2)まずはP(x),Q(x)を正しく導出。ここで間違うと痛い。どちらの場合もxを定数とみなして、結論を得てからxを変数と見なして動かす、という手法をとりたい。Q(x)のほうはxの値によって上に凸、直線、下に凸に変化するので要注意。
  P(x) \subset Q(x)の定義をしっかり押さえたいですね。ベン図とか書いたときに集合P(x)が集合Q(x)にすっぽり覆われる状態になればOK。
  厳密に書くと、x \in P(x) \Rightarrow x \in Q(x)となります。
  必要十分条件を求めるので、逆の確認も忘れない事!

(3)ただただ面倒くさいだけの問題。丁寧に追いましょう。おそらく問題の背景にあるのは離心率。


(解答)
(1)
x+y^2=y+z^2=z+x^2より、
    \begin{eqnarray}x+y^2&=&y+z^2\\y+z^2&=&z+x^2\\z+x^2&=&x+y^2 \end{eqnarray}
よって
    \begin{eqnarray}x-y&=&(z+y)(z-y)\\y-z&=&(x+z)(x-z)\\z-x&=&(y+x)(y-x) \end{eqnarray}
1式目に2式目を代入すると
    \begin{eqnarray}x-y&=&-(z+y)(y-z)\\
&=&-(z+y)(x+z)(x-z)\\
y-x&=&(z+y)(x+z)(x-z) \end{eqnarray}
これを3式目に代入すると
    \begin{eqnarray}z-x&=&(y+x)(z+y)(x+z)(x-z)
 \end{eqnarray}
ここで、x\neq zと仮定すると
    -1=(x+y)(y+z)(z+x)
となるが、問題の仮定よりx+y \ge 0,y+z \ge 0,z+x\ge 0すなわち(x+y)(y+z)(z+x) \ge 0
よって左辺が負なので矛盾。x=zである。
この式を与えられた式に代入すると
    z+y^2=y+z^2=z+z^2
後ろ2つの式からy=zが得られ、x=y=zを得る。


(2)
t^2+xt+|y|=0をみたす実数tが存在する」とは、この方程式の判別式D_1D_1 \ge 0であることだから
    D_1=x^2-4|y| \ge 0
すなわち
    \begin{eqnarray}-\frac{1}{4}x^2 \le y\le\frac{1}{4}x^2 \end{eqnarray}
よって
    \begin{eqnarray} P(x)=\{y|-\frac{1}{4}x^2 \le y\le\frac{1}{4}x^2 \}\end{eqnarray}

「すべての実数tに対してxt^2+yt+1>0が成り立つ」について考える。
x>0のとき
 左辺は下に凸の二次関数のグラフを描くので、xt^2+yt+1=0が実数解を持たなければよい
 つまりこの方程式の判別式D_2D_2<0を満たせばよい
    D_2=y^2-4x<0
 よって
    \begin{eqnarray} x>\frac{1}{4}y^2 \end{eqnarray}

x=0のとき
 xt^2+yt+1>0yt+1>0となる。
 (i)y=0のとき
  すべての実数yに対して1>0となり、これは適。
 (ii)y \neq 0のとき
  t=-\frac{1}{y}とすればyt+1=0となるため、条件を満たすyは存在しない
 (i)(ii)より
    y=0

x<0のとき
 左辺は上に凸の二次関数のグラフを描くため、必ず負の値をとるようなtが存在する。
 よって、条件に合うようなyは存在しない

以上より
    Q(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
    \begin{eqnarray} x>\frac{1}{4}y^2 \end{eqnarray} & (x>0) \\
    0 & (x=0)
  \end{array} \right.


P(x),Q(x)を図示すると次のようになる

f:id:tamazarasi:20180304022855j:plain:w300
青:P(x) 赤:Q(x)

図から P(x) \subset Q(x)となっているxの範囲は0 \le x < 4とわかる


(3)
d_1=x,d_2=\sqrt{(x-2)^2+y^2}であり、ad_1=d_2 \Rightarrow a^2d_1^2=d_2^2だから
    a^2x^2=(x-2)^2+y^2
 (ア)a=\frac{1}{2}
    \begin{eqnarray}(x-\frac{8}{3})^2+\frac{4}{3}y^2=\frac{16}{9}\end{eqnarray}
   つまり
    楕円\begin{eqnarray}\frac{(x-\frac{8}{3})^2}{(\frac{4}{3})^2}+\frac{y^2}{(\frac{2}{\sqrt{3}})^2}=1\end{eqnarray}

 (イ)a=1
    \begin{eqnarray}x=\frac{1}{4}y^2+1\end{eqnarray}
   つまり
    放物線\begin{eqnarray}x=\frac{1}{4}y^2+1\end{eqnarray}

 (ウ)a=2
    \begin{eqnarray}(x+\frac{2}{3})^2-\frac{1}{3}y^2=\frac{16}{9}\end{eqnarray}
   つまり
    双曲線\begin{eqnarray}\frac{(x+\frac{2}{3})^2}{(\frac{16}{9})^2}-\frac{y^2}{(\frac{4}{\sqrt{3}})^2}=1\end{eqnarray}




基本が詰まったような問題ですね。(2)の範囲の等号ミスに気を付けましょう