k^n(n:自然数)

数学とときどき競技クイズ。

2018年一橋大学文系数学大問1

一橋大も易化しましたね。最近は難関大が易化傾向にあるようで...

2018年一橋大学文系数学大問1
正の整数nの各位の和をS(n)で表す。たとえば
    S(3)=3,S(10)=1+0=1,S(516)=5+1+6=12
である。
(1)n \ge 10000のとき、不等式n>30S(n)+2018を示せ。
(2)n=30S(n)+2018を満たすnを求めよ。


誘導がありがたい問題ですね。桁数が4桁に絞られるので扱いやすくなります。
一橋大の整数、このパターン多いのかも?

(考察)
(1)S(n)の値は桁数に応じて変化しますが、上からも下からも押さえることができるので、うまく不等式の関係を使えそうですね。とりあえず、帰納法が良いのでは。
(2)(1)の主張からnは4桁以下であることが分かりますから、あとは整数問題として解きましょう。うまく範囲を絞っていけば簡単簡単。


(解答)
(1)
n \ge 10000のとき、nは5桁以上であるから、nk(\ge 5)桁とすると
S(n)の最大値は、9k個連なった時の9k、最小値は最高位が1で残りが0の時の1だから
    1 \le S(n) \le 9k
また、nk桁の時
    10^{k-1} \le n < 10^k
である。
よって、不等式n>30S(n)+2018を示すには
    10^{k-1} > 30 \cdot 9k +2018  (k \ge 5)
を示せば十分。
以下、この不等式を数学的帰納法で示す。
f(k)=10^{k-1}-270k-2018とおく
(i)k=5のとき
 f(5)=10^4-1350-2018=6632>0
 よって、適。

(ii)f(k)>0と仮定、つまり10^{k-1} > 270k +2018とするとき
  \begin{eqnarray}
f(k+1)&=&10^k-270(k+1)-2018\\
&=&10 \cdot 10^{k-1}-270k-270-2018\\
&>&10(270k+2018)-270k-270-2018\\
&=&2430k+17892\\
&>&17892>0\end{eqnarray}
  となり、f(k+1)>0となる

(i)(ii)より(k \ge 5)のとき10^{k-1} > 30 \cdot 9k +2018であることが示され、n \ge 10000のとき、n>30S(n)+2018であることが示された。


(2)
(1)よりnが5桁以上であるとき等号は成立しない。よってnは4桁以下であるから
    n=1000a+100b+10c+d  (a,b,c,d0以上の1桁の整数)
と表せる。
このとき、S(n)=a+b+c+dだから、与えられた方程式は
    \begin{eqnarray}1000a+100b+10c+d&=&30(a+b+c+d)+2018\\
970a+70b-20c-29d&=&2018\end{eqnarray}
となる。
ここで、970a=2018-(70b-20c-29d)であるからaについて絞り込みを行う。
70\cdot 0-20\cdot 9-29\cdot 9 \le 70b-20c-29d \le 70 \cdot 9-20\cdot 0-29\cdot 0
つまり
-441 \le 70b-20c-29d \le 630
よって
2018-630 \le 970a \le 2018+441
つまり
1388 \le 970a \le 2459
である。
これを満たすaa=2のみ。

よって方程式は
    \begin{eqnarray}1940+70b-20c-29d&=&2018\\
70b-20c-29d&=&78\end{eqnarray}
となる。
ここで、10(7b-2c)=29d+78であるから、29d+7810の倍数。
一の位が0になることを考えると、d=8のみであることがわかる。
よって、方程式は
    \begin{eqnarray}10(7b-2c)&=&310\\
7b-2c&=&31\\
7b&=&2c+31\end{eqnarray}
となる。
2\cdot 0 +31\le 2c+31 \le 2\cdot 9+31
つまり
31 \le 7b \le 49
だから
b=5,6,7

b 5 6 7
2c+31(=7b) 35 42 49
c 2 \frac{11}{2} 9

以上よりn=2528,2798


絞り込みを何度も用いるタイプの問題でした。やはり一橋大にしてはかなり易しめですね。