k^n(n:自然数)

数学とときどき競技クイズ。

2018年北海道大学理系数学大問2

僕の苦手な複素数平面。

2018年北海道大学理系数学大問2
\begin{eqnarray}z+\frac{4}{z}\end{eqnarray}が実数となるような0と異なる複素数zの全体をDとする。
(1)D複素数平面上に図示せよ。
(2)kを実数とする。Dに属するzで方程式
    \begin{eqnarray}k(z+\frac{4}{z}+8)=i(z-\frac{4}{z})\end{eqnarray}
を満たすものが存在するようなkの値の範囲を求めよ。ただしi虚数単位を表す。

(考察2)
ポイントとなる考え方は、
|z|^2=z\overline{z}
zが実数\Leftrightarrowz=\overline{z}
zが純虚数\Leftrightarrowz+\overline{z}=0
これはz=x+yiのようにおいて確認してみればすぐにわかります。
そして、複素数平面で重要なポイントとして、複素数をどのように表現するかがポイントになります
1.zをそのまま扱う
2.z=r(\cos\theta+i\sin\theta)(0\le\theta<2\pi)とおく
3.z=x+yi(x,y:実数)とおく
僕は上から順に試していくことにしています。x+yiは最終手段。計算が煩雑になることが多い気がします。
今回は2を利用しました。
では、そんな感じで、進めていきます

(解答)
(1)
\begin{eqnarray}z+\frac{4}{z}\end{eqnarray}が実数\begin{eqnarray}\Leftrightarrow z+\frac{4}{z}=\overline{z+\frac{4}{z}}\end{eqnarray}
つまり
\begin{eqnarray}z+\frac{4}{z}&=&\overline{z}+\frac{4}{\overline{z}}\\
z\overline{z}(z+\frac{4}{z})&=&z\overline{z}(z+\frac{4}{\overline{z}})\\
z^2\overline{z}+4\overline{z}&=&z\overline{z}^2+4z\\
z\overline{z}(z-\overline{z})-4(z-\overline{z})&=&0\\
(z\overline{z}-4)(z-\overline{z})&=&0\\
(|z|^2-4)(z-\overline{z})&=&0\\|z|=2,z=\overline{z}
\end{eqnarray}
よって
zは実軸上または中心0で半径2の円周上。ただしz=0は除く
f:id:tamazarasi:20180301031357j:plain:w300


(2)
z\in Dより、方程式の左辺は実数になるので、右辺も実数。つまり、\begin{eqnarray}z-\frac{4}{z}\end{eqnarray}は純虚数
よって
\begin{eqnarray}
(z-\frac{4}{z})+(\overline{z}-\frac{4}{\overline{z}})&=&0\\
z\overline{z}(z-\frac{4}{z}+\overline{z}-\frac{4}{\overline{z}})&=&0\\
z^2\overline{z}-4\overline{z}+z\overline{z}^2-4z&=&0\\
z(z\overline{z}-4)+\overline{z}(z\overline{z}-4)&=&0\\
(z+\overline{z})(|z|^2-4)&=&0\\
z+\overline{z}=0,|z|=2
\end{eqnarray}
よってzは純虚数または|z|=2を満たす複素数
z\in Dであることを考慮すると
zが問題の方程式の解である\Leftrightarrow |z|=2

このとき、z\overline{z}=4であるから、問題の方程式は
\begin{eqnarray}
k(z+\frac{z\overline{z}}{z}+8&=&i(z-\frac{z\overline{z}}{z})\\
k(z+\overline{z}+8)&=&i(z-\overline{z})
\end{eqnarray}
と書き換えられる。
ここで、|z|=2よりz
   z=2(\cos\theta+i\sin\theta)  (0\le\theta<2\pi)
とおけるので方程式に代入すると
\begin{eqnarray}
k\{2(\cos\theta+i\sin\theta)+2(\cos\theta-i\sin\theta)+8\}&=&i\{2(\cos\theta+i\sin\theta)-2(\cos\theta-i\sin\theta)\}\\
k(2\cos\theta+4)&=&i\cdot 2i\sin\theta\\
k&=&-\frac{\sin\theta}{\cos\theta+2}
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
\frac{dk}{d\theta}&=&-\frac{\cos^2\theta+2\cos\theta-(-\sin\theta)\sin\theta}{(\cos\theta+2)^2}\\
&=&-\frac{\cos^2\theta+2\cos\theta+(1-\cos^2\theta)}{(\cos\theta+2)^2}\\
&=&-\frac{2\cos\theta+1}{(\cos\theta+2)^2}
\end{eqnarray}
よって\begin{eqnarray}\frac{dk}{d\theta}=0 \Leftrightarrow \cos\theta=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \theta=\frac{2}{3}\pi,\frac{4}{3}\pi\end{eqnarray}

\theta 0 \frac{2}{3}\pi \frac{4}{3}\pi (2\pi)
\frac{dk}{d\theta} - 0 + 0 -
k 0 -\frac{\sqrt{3}}{3} \frac{\sqrt{3}}{3} 0

よって\begin{eqnarray}-\frac{\sqrt{3}}{3}\le k\le\frac{\sqrt{3}}{3}\end{eqnarray}


(2)は少し厄介でしたね。x+yiとおく解答も各予備校用意していました(河合塾はむしろそっちだけ)。
が、予備校の解答と違う点として、方程式の解であるための必要十分条件として|z|-2を先に求めたため、場合分けを減らすことに成功していました。
偶然とはいえ、嬉しいものですね。

残り3題もまとめていきたいと思っています。