k^n(n:自然数)

思いのままに書き綴ります

2018年東京大学理系数学大問1

今年も易しめの問題が多かったようですね。後半は難しいらしいですが。

2018年東京大学理系数学大問1
関数f(x)=\frac{x}{\sin x}+\cos x  {(}0<{x}<\pi)
の増減表を作りx\to +0,x\to\pi-0のときの極限を調べよ

う~ん、どうしたものか、東大よ...

(考察)
導関数が厄介な形になりますがうまく変形していきましょう。慣れです。

(解答)
\begin{eqnarray}
f'(x)&=&\frac{\sin x-x\cos x}{\sin ^2x}-\sin x\\
&=&\frac{\sin x-x\cos x-\sin ^3x}{\sin ^2x}\\
&=&\frac{\sin x(1-\sin ^2x)-x\cos x}{\sin ^2x}\\
&=&\frac{\sin x \cos ^2x-x\cos x}{\sin^2x}\\
&=&\frac{\cos x}{\sin^2x}(\frac{1}{2}\sin 2x-x)
\end{eqnarray}

g(x)=\frac{1}{2}\sin 2x-xとすると
g'(x)=\cos 2x-1<0よりg(x)0<{x}<\piで単調減少だから
g'(0)=0より)g(x)<0

よってf'(x)=0\Leftrightarrow \cos x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}

増減表は

x {(}0) \frac{\pi}{2} {(}\pi)
f' - 0 +
f \frac{\pi}{2}

極限を考える。
\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} =1を用いて

\displaystyle \lim_{x \to +0} {(}\frac{x}{\sin x} + \cos x{)}=1+1=2

\displaystyle \lim_{x \to \pi-0} {(}\frac{x}{\sin x} + \cos x{)} = (\frac{\pi}{0} -1) =+\infty

(追記 2018/2/28)
最後の式変形間違えていました。修正しました