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k^n(n:自然数)

思いのままに書き綴ります

2017年京都大学理系数学大問3

お久しぶりです。なんか良い回答っぽいのができたので書きます。

2017年京都大学理系数学大問3
p,q自然数\alpha,\betatan\alpha=\frac{1}{p},\beta=\frac{1}{q}
を満たす実数とする。このとき
tan(\alpha+2\beta)=2
を満たすp,qの組(p,q)をすべて求めよ。

(考察)
加法定理を使って整理することは誰でもわかると思いますが、加法定理tan(\alpha+\beta)=\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha{tan}\beta}を使う際、現れるtanは全て定義されている必要があり、今、q=1のときにtan2\betaが定義されないことに注意しなければなりません。最初に解いた時は僕も気づきませんでした。
あとは整数問題として解いていけばokです。

(解答)
(i)q=1のとき
tan\beta=1より\beta=\frac{\pi}{4}+n\pi(ただしnは整数)
よって
\begin{eqnarray}
tan(\alpha+2\beta)
&=&tan(\alpha+\frac{\pi}{2}+2n\pi)\\
&=&tan(\alpha+\frac{\pi}{2})\\
&=&-\frac{1}{tan\alpha}\\
&=&-p=2
\end{eqnarray}
p自然数だから不適

(ii)q\neq1のとき
加法定理より
tan(\alpha+2\beta)=\frac{tan\alpha+tan2\beta}{1-tan\alpha{tan}2\beta}
また
\begin{eqnarray}tan2\beta
&=&\frac{2tan\beta}{1-tan^2\beta}\\
&=&\frac{\frac{2}{q}}{1-(\frac{1}{q})^2}\\
&=&\frac{2q}{q^2-1}\end{eqnarray}
だから
\begin{eqnarray}tan(\alpha+2\beta)
&=&\frac{\frac{1}{p}+\frac{2q}{q^2-1}}{1-\frac{2q}{p(q^2-1)}}\\
&=&\frac{q^2-1+2pq}{p(q^2-1)-2q}=2
\end{eqnarray}
よって
q^2-1+2pq=2pq^2-2p-4q
を満たす自然数の組(p,q)を求めればよい

(ここから予備校各社は最高次が1であるpについて解いてqを絞り込んでいますが、違う方法で解きます)

\begin{eqnarray}(2p-1)q^2-2(p+2)q-(2p-1)&=&0\\
(2p-1)(q^2-1)&=&2(p+2)q\\
(2p-1)(q+1)(q-1)&=&2(p+2)q\end{eqnarray}
ここでqq+1、また、qq-1は連続する整数だから互いに素である。
よって2p-1qの倍数であるから
2p-1=qk(ただしk\in\mathbb{N})とおける
このとき
\begin{eqnarray}
qk(q+1)(q-1)&=&2(p+2)q\\
k(q^2-1)&=&(2p+4)\\
&=&2p-1+5\\
&=&qk+5\\
k(q^2-q-1)&=&5
\end{eqnarray}
kおよびq^2-q-1自然数であるから
(k,q^2-q-1)=(1,5)(5,1)
つまり
(k,q(q-1))=(1,6)(5,2)
よって
(k,q)=(1,3)(5,2)
ここでqk=2p-1よりq,kは奇数であるから
(k,q)=(1,3)のみで
\begin{eqnarray}
2p-1&=&1\cdot{3}\\
p&=&2\end{eqnarray}

以上より求める組は
(p,q)=(2,3)



予備校各社(駿台,河合塾,代ゼミ)の解答速報では駿台代ゼミが逆の確認をしていて、河合塾は特に記載されていませんでした。
この点については友人とみっちり話したんですが、おそらく加法定理を使った際に分数の解消により分母が0になる可能性が復活して同値性が崩れるからではないか、という結論に至りましたが、僕は書かないですね。別にこれくらいなら減点は数点でしょう()
書いておいて損は無いと思います。実際、バカ正直に逆の計算する必要も無いでしょうし。