読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

k^n(n:自然数)

思いのままに書き綴ります

数Ⅲに入って微分に躓いている

数Ⅲ つぶやき 数学

数Ⅱの微積分はとりあえず計算していればいいものでしたけど、数Ⅲ入ってからちょっと暗雲が立ち込めてますねぇ。
合成関数の微分がとにかく各所で出てくるんですよね。今日ちょっと(ちょっとどころではないが)躓いた問題を1つ。

x^2+3xy-y^2=1\frac{dy}{dx}で表わせ。

y^2微分で躓いたわけです。

x^2+3xy-y^2=0を両辺x微分すると
\begin{eqnarray}
2x+3(y+x\frac{d}{dx}y)-\frac{d}{dx}y^2
&=&0\\
2x+3y+3x\frac{dy}{dx}-\frac{d}{dx}y^2
&=&0\end{eqnarray}
ここまではできたんですが、鬼門(?)はy^2です
そこで、y^2=(5x+4)^2と適当にyに式を置いて考えてみました。この場合、微分\frac{d}{dx}y^2=2(5x+4)\cdot(5x+2)'です
つまり\frac{d}{dx}y^2=2y\cdot{y}'ということです
元の式に戻って
\begin{eqnarray}
2x+3y+3x\frac{dy}{dx}-\frac{d}{dx}y^2
&=&0\\
2x+3y+3x\frac{dy}{dx}-2y\frac{dy}{dx}
&=&0\\
2x+3y+(3x-2y)\frac{dy}{dx}
&=&0
\frac{dy}{dx}=-\frac{2x+3y}{3x-2y}
\end{eqnarray}
(但し3x-2y\neq0)

まぁ個人用のメモ的な記事ですよね、失礼しました。