読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

k^n(n:自然数)

思いのままに書き綴ります

友人から貰ったどこの大学かわからない問題

?年?大学
1次式f_n(x) (n=1,2,3,\cdots)\displaystyle{f_1(x)}=x+1,xf_{n+1}(x)=x+x^2+\int_0^x f_n(t) dtを満たすとき次の問いに答えなさい
(1)f_2(x)をもとめなさい
(2)f_n(x)をもとめなさい

(解答)
(1)
与えられた漸化式より
\displaystyle\begin{eqnarray}
xf_2(x)
&=&x+x^2+\int_0^x (t+1) dt\\
&=&x+x^2+\frac{1}{2}x^2+x\\
&=&\frac{3}{2}x^2+2x\\f_2(x)
&=&\frac{3}{2}x+2\end{eqnarray}

(2)
f_n(x)=a_nx+b_nとおくと
\displaystyle\begin{eqnarray}
x(a_{n+1}x+b_{n+1})
&=&x+x^2+\int_0^x {(a_nt+b_n)} dt\\
&=&x+x^2+\frac{a_n}{2}x^2+b_nx\\
&=&(\frac{a_n}{2}+1)x^2+(b_n+1)x\\
a_{n+1}x+b_{n+1}&=&(\frac{a_n}{2}+1)x+(b_n+1)
\end{eqnarray}
よって
a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+1\cdots
b_{n+1}=b_n+1\cdots
①はa_{n+1}-2=\frac{1}{2}(a_n-2)と変形できるので
\{a_n-2\}は公比\frac{1}{2}等比数列である
また、a_1-2=1-2=-1だから
\begin{eqnarray}a_n-2
&=&-1\cdot(\frac{1}{2})^{n-1}\\
&=&-(\frac{1}{2})^{n-1}\\
a_n&=&2-(\frac{1}{2})^{n-1}\end{eqnarray}
②はb_{n+1}-b_n=1だから
\{b_n\}は公差1の等差数列である
また、b_1=1だから
\begin{eqnarray}b_n
&=&1+(n-1)\cdot1\\
&=&n
\end{eqnarray}
故に
f_n(x)=\{2-(\frac{1}{2})^{n-1}\}x+n