友人から貰ったどこの大学かわからない問題

？年？大学
次式 がを満たすとき次の問いに答えなさい
(1)をもとめなさい
(2)をもとめなさい

(解答)
(1)
与えられた漸化式より
$\displaystyle\begin{eqnarray} xf_2(x) &=&x+x^2+\int_0^x (t+1) dt\\ &=&x+x^2+\frac{1}{2}x^2+x\\ &=&\frac{3}{2}x^2+2x\\f_2(x) &=&\frac{3}{2}x+2\end{eqnarray}$

(2)
$f_n(x)=a_nx+b_n$ とおくと
$\displaystyle\begin{eqnarray} x(a_{n+1}x+b_{n+1}) &=&x+x^2+\int_0^x {(a_nt+b_n)} dt\\ &=&x+x^2+\frac{a_n}{2}x^2+b_nx\\ &=&(\frac{a_n}{2}+1)x^2+(b_n+1)x\\ a_{n+1}x+b_{n+1}&=&(\frac{a_n}{2}+1)x+(b_n+1) \end{eqnarray}$
よって
$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+1\cdots$ ①
$b_{n+1}=b_n+1\cdots$ ②
①は $a_{n+1}-2=\frac{1}{2}(a_n-2)$ と変形できるので
$\{a_n-2\}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である
また、 $a_1-2=1-2=-1$ だから
$\begin{eqnarray}a_n-2 &=&-1\cdot(\frac{1}{2})^{n-1}\\ &=&-(\frac{1}{2})^{n-1}\\ a_n&=&2-(\frac{1}{2})^{n-1}\end{eqnarray}$
②は $b_{n+1}-b_n=1$ だから
$\{b_n\}$ は公差 $1$ の等差数列である
また、 $b_1=1$ だから
$\begin{eqnarray}b_n &=&1+(n-1)\cdot1\\ &=&n \end{eqnarray}$
故に
$f_n(x)=\{2-(\frac{1}{2})^{n-1}\}x+n$