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k^n(n:自然数)

思いのままに書き綴ります

自作問題

数Ⅲ 数学 数B

30分くらいで作ってみました。結果なかなか質が低いものが。

自作問題1
数列\{a_n\}を次のように定める
a_n=\frac{1+2+3+\cdots+n}{n!}
このとき以下の問いに答えよ。
(1)a_nを最大にするnとそのときのa_nの値を求めよ。
(2)極限\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_nを求めよ。

別解は随時追加したいと思います、多分

(ポイント)
(1)a_1,a_2,a_3,\cdots,a_nを不等式で表せたらnがわかるのでa_na_{n+1}を比べてみます
(2)発想次第でいくらでも解法はあると思います


(解答)
(1)
\begin{eqnarray}a_n&=&\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n!}\\&=&\frac{n(n+1)}{2n(n-1)!}\\&=&\frac{n+1}{2(n-1)!}\end{eqnarray}
よって
a_{n+1}=\frac{n+2}{2\cdot{n}!}
明らかにa_n>0だからa_{n+1}>a_nのとき\frac{a_{n+1}}{a_n}>1
つまり
\begin{eqnarray}\frac{a_{n+1}}{a_n}&=&\frac{n+2}{2\cdot{n}!}\cdot\frac{2(n-1)!}{n+1}\\&=&\frac{2(n+2)(n-1)!}{2(n+1)n(n-1)!}\\&=&\frac{n+2}{n(n+1)}>1\end{eqnarray}
これを解くと2>n^2つまりn=1のみ
同様にa_{n+1}<{a_n}のとき\frac{a_{n+1}}{a_n}<1だからこれを解くと
2<{n^2}つまりn\geqq{2}
これらをまとめると
a_1<{a_2}>a_3>a_4>\cdotsとなり
求めるn2
このとき
\begin{eqnarray}a_2&=&\frac{2+1}{2\cdot(2-1)!}\\&=&\frac{3}{2}\end{eqnarray}

(2)
\begin{eqnarray}a_n&=&\frac{(n-1)+2}{2(n-1)!}\\&=&\frac{n-1}{2(n-1)(n-2)!}+\frac{2}{2(n-1)!}\\&=&\frac{1}{2(n-2)!}+\frac{1}{(n-1)!}\end{eqnarray}
よって
\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty}\{\frac{1}{2(n-2)!}+\frac{1}{(n-1)!}\}=0

(2)別解①
6以上のnn+1<(n-2)!であることを数学的帰納法で示す
\vdots
故に6以上のnn+1<(n-2)!である
つまり
6以上のn\begin{eqnarray}\frac{n+1}{2(n-1)!}&<&\frac{(n-2)!}{2(n-1)!}\\a_n&<&\frac{(n-2)!}{2(n-1)(n-2)!}=\frac{1}{2(n-1)}\end{eqnarray}
0<{a_n}かつ\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2(n-1)}=0だから、はさみうちの原理より
\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n=0