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k^n(n:自然数)

思いのままに書き綴ります

2016年京都大学文系数学大問3

n進法が出題されました

2016年京都大学文系数学大問3
n4以上の自然数とする。数1,12,1331がすべてn進法で表記されているとして2^{12}=1331が成り立っている。このときnはいくつか。十進法で答えよ。

(考察)
n進法が理解出来ていればあとは単なる整数問題(整数問題しか記事にしてない気がする)。できるだけ実験を減らしたいところ。文字が左辺には指数、右辺には普通に置かれているので明らかに左辺が大きくなっていくのでそのポイントを発見できれば絞りこめる。左辺の計算は楽なので右辺の計算を楽にすれば全体として楽になりそう。


(解答)
与式をn進法表記を10進法に直すと2^{n+2}=n^3+3n^2+3n+1となる
つまり2^{n+2}=(n+1)^3となる
左辺の素因数は明らかに2のみだから右辺のn+1自然数aを用いてn+1=2^aと表される\cdots
ここでn\geqq9のとき2^{n+2}>(n+1)^3\cdots☆となることを数学的帰納法で示す
(i)n=9のとき
(左辺)=2^{11}=2048,(右辺)=10^3=1000となり☆は成立
(ii)n=k(\geqq9)のとき☆の成立、つまり2^{k+2}>(k+1)^3を仮定すると
\begin{eqnarray}2^{(k+1)+2}-\{(k+1)+1\}^3&=&2\cdot2^{k+2}-(k+2)^3\\&>&2(k+1)^3-(k+2)^3(∵仮定)\\&=&2k^3+6k^2+6k+2-k^3-6k^2-12k-8\\&=&k^3-6k-6\end{eqnarray}
また
\begin{eqnarray}k^3-6k-6&>&k^3-6k-9\\&=&(k-3)(k^2+3k+3)\\&=&(k+3)\{(k+\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}\}>0(∵k\geqq9)\end{eqnarray}
故に
2^{(k+1)+1}-\{(k+1)+1\}^3>0つまり
2^{(k+1)+1}>\{(k+1)+1\}^3となりn=k+1のときも☆は成立
(i)(ii)より9以上のすべての整数nで☆は成立
よって*はn\geqq9に対して解を持たない
つまり*の解は4\leqq{n}\leqq8の範囲にあるから5\leqq{n+1}\leqq9
この範囲でn+12^aで表されるものはn+1=8のみ
n=7を確かめると
(左辺)=2^{7+2}=512,(右辺)=(7+1)^3=512となりn=7は*の解である

以上より求めるn7


微分したくなかったので慣れない不等式評価をしてみました。もっといいやり方あったら教えてください。