読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

k^n(n:自然数)

思いのままに書き綴ります

2016年一橋大学数学大問1

文系数学の最高峰だと思います、一橋大学
かなり時間かかりましたし解答もあまり綺麗ではないです...すみません。

2016年一橋大学数学大問1
6\cdot3^{3x}+1=7\cdot5^{2x}を満たす0以上の整数xをすべて求めよ。


(考察)
x=0はすぐわかったんですけど、とにかく計算が煩雑!あまり綺麗な問題だとは思わないですが...少し実験をして臨んでみます

(実験)
x=1\cdots6\cdot3^3+1=163,7\cdot5^2=175よって不成立
x=2\cdots6\cdot3^6+1=4375,7\cdot5^4=4375よって成立
x=3\cdots6\cdot3^9+1=118099,7\cdot5^4=109375よって不成立
いやぁ計算量が...
この時点でこれ以降計算しても解は出ないかな、と思いました。で、よく計算結果を見てみると、x=1のとき(左辺)<(右辺)でしたがx=2(左辺)=(右辺)となりx=3(左辺)>(右辺)となりました。左辺の増加スピードの方が速いのでしょうかね。あまりよくわかりませんが。でももしそうであれば、この後ずっと(左辺)>(右辺)となり等号は成立しません。これを試しに示してみると...ね?


(解答)
6\cdot3^{3x}+1=7\cdot5^{2x}\cdots
x=0のとき
6\cdot3^0+1=7,7\cdot5^0=7
よって*は成立
x=1のとき
6\cdot3^3+1=163,7\cdot5^2=175
よって*は不成立
x=2
6\cdot3^6+1=4375,7\cdot5^4=4375
よって*は成立
以降3以上のxに対して6\cdot3^{3x}+1>7\cdot5^{2x}\cdots☆であることを数学的帰納法で示す
(i)x=3のとき
(左辺)=6\cdot3^9+1=118099
(右辺)=7\cdot5^4=109375
となり☆は成立する
(ii)x=kのとき☆が成立する、つまり6\cdot3^{3k}+1>7\cdot5^{2k}を仮定する
このとき、
6\cdot3^{3(k+1)}+1-7\cdot5^{2(k+1)}
\begin{eqnarray}=3^3\cdot6\cdot3^{3k}-7\cdot5^2\cdot5^{2k}&>&27(7\cdot5^{2k}-1)+1-7\cdot5^2\cdot5^{2k}(∵仮定)\\&=&27\cdot7\cdot5^{2k}-26-25\cdot7\cdot5^{2k}\\&=&2\cdot7\cdot5^{2k}-26\\&\geqq&2\cdot7\cdot5^2-26\\&=&324>0\end{eqnarray}
よって
6\cdot3^{3(k+1)}+1-7\cdot5^{2(k+1)}>0
つまり
6\cdot3^{3(k+1)}+1>7\cdot5^{2(k+1)}となり
☆はx=k+1のときも成立する
よって(i)(ii)より3以上のxに対して☆が成立
故に*は3以上の解を持たない

以上より求める解はx=0,2


絶対どこかミスしてる...
タグも数Bでいいのかなぁ