2016年一橋大学数学大問1

文系数学の最高峰だと思います、一橋大学。
かなり時間かかりましたし解答もあまり綺麗ではないです...すみません。

2016年一橋大学数学大問1
を満たす以上の整数をすべて求めよ。

(考察)
$x=0$ はすぐわかったんですけど、とにかく計算が煩雑！あまり綺麗な問題だとは思わないですが...少し実験をして臨んでみます

(実験)
$x=1\cdots6\cdot3^3+1=163,7\cdot5^2=175$ よって不成立
$x=2\cdots6\cdot3^6+1=4375,7\cdot5^4=4375$ よって成立
$x=3\cdots6\cdot3^9+1=118099,7\cdot5^4=109375$ よって不成立
いやぁ計算量が...
この時点でこれ以降計算しても解は出ないかな、と思いました。で、よく計算結果を見てみると、 $x=1$ のとき $(左辺)<(右辺)$ でしたが $x=2$ で $(左辺)=(右辺)$ となり $x=3$ で $(左辺)>(右辺)$ となりました。左辺の増加スピードの方が速いのでしょうかね。あまりよくわかりませんが。でももしそうであれば、この後ずっと $(左辺)>(右辺)$ となり等号は成立しません。これを試しに示してみると...ね？

(解答)
$6\cdot3^{3x}+1=7\cdot5^{2x}\cdots$ ＊
$x=0$ のとき
$6\cdot3^0+1=7,7\cdot5^0=7$
よって＊は成立
$x=1$ のとき
$6\cdot3^3+1=163,7\cdot5^2=175$
よって＊は不成立
$x=2$
$6\cdot3^6+1=4375,7\cdot5^4=4375$
よって＊は成立
以降 $3$ 以上の $x$ に対して $6\cdot3^{3x}+1>7\cdot5^{2x}\cdots$ ☆であることを数学的帰納法で示す
(i) $x=3$ のとき
$(左辺)=6\cdot3^9+1=118099$
$(右辺)=7\cdot5^4=109375$
となり☆は成立する
(ii) $x=k$ のとき☆が成立する、つまり $6\cdot3^{3k}+1>7\cdot5^{2k}$ を仮定する
このとき、
$6\cdot3^{3(k+1)}+1-7\cdot5^{2(k+1)}$
$\begin{eqnarray}=3^3\cdot6\cdot3^{3k}-7\cdot5^2\cdot5^{2k}&>&27(7\cdot5^{2k}-1)+1-7\cdot5^2\cdot5^{2k}(∵仮定)\\&=&27\cdot7\cdot5^{2k}-26-25\cdot7\cdot5^{2k}\\&=&2\cdot7\cdot5^{2k}-26\\&\geqq&2\cdot7\cdot5^2-26\\&=&324>0\end{eqnarray}$
よって
$6\cdot3^{3(k+1)}+1-7\cdot5^{2(k+1)}>0$
つまり
$6\cdot3^{3(k+1)}+1>7\cdot5^{2(k+1)}$ となり
☆は $x=k+1$ のときも成立する
よって(i)(ii)より $3$ 以上の $x$ に対して☆が成立
故に＊は $3$ 以上の解を持たない

以上より求める解は $x=0,2$

絶対どこかミスしてる...
タグも数Ｂでいいのかなぁ

k^n(n:自然数)

数学とときどき競技クイズ。

2016年一橋大学数学大問1