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k^n(n:自然数)

思いのままに書き綴ります

2016年東北大学理系数学大問2

大学入試問題 数学 数B 数A

前回の記事とほぼ同じ問題が東北大学でも出題されていたので一緒に

2016年東北大学理系数学大問2
以下の問いに答えよ
(1)6以上の整数nに対して不等式2^n>n^2+7が成り立つことを数学的帰納法により示せ。
(2)等式p^q=q^p+7を満たす素数の組(p,q)をすべて求めよ。


(考察)
(1)は何も考える必要ないですね。簡単です。(2)は前回の記事と同じ戦法で行きたいと思います。但し(1)があからさまな誘導なのでそれに乗ることにします。


(解答)
(1)2^n>n^2+7\cdots
(i)n=6のとき
*について(左辺)=2^6=64,(右辺)=6^2+7=53
よって(左辺)>(右辺)となり*は成立

(ii)n=kのとき*の成立、つまり2^k>k^2+7を仮定すると
2^{k+1}-(k+1)^2-7
=2\cdot2^k-(k+1)^2-7
>2(k^2+7)-(k+1)^2-7
=2k^2+14-k^2-2k-8
=k^2-2k+6
=(k-1)^2+5>0
よって2^{k+1}-(k+1)^2-7>0だから
2^{k+1}>(k+1)^2+7となり*はk+1のときも成立

故に(i)(ii)より
6以上の整数nに対して不等式2^n>n^2+7が成り立つ


(2)
p,qの偶奇が異なることを示す
p=q=2のとき2^2=2^2+7となりこれは不適
またp,qが奇数のとき2を法として
p\equiv1,q\equiv1
よって
p^q\equiv1,q^p\equiv1
q^p+7\equiv8\equiv0
よってp^q\equivq^p+7とならずこれも不適
故にp,qのいずれか一方は偶数、つまり2である

(i)p=2のとき
2^q=q^2+7となるqを求める
(1)よりq6以上のとき2^q>q^2+7だからq=3,5を調べると
q=3……2^q=2^3=8,q^2+7=3^2+7=16
q=5……2^q=2^5=32,q^2+7=5^2+7=32
よって解の一つは(p,q)=(2,5)

(ii)q=2のとき
p^2=2^p+7つまり2^p=p^2-7となるpを求める
(1)よりp6以上のとき2^p>p^2+7だからp^2-7>p^2+7となるが、これは明らかに成り立たない
よってp=3,5を調べると
p=3……p^2=3^2=9,2^p+7=2^3+7=15
p=5……p^2=5^2=25,2^p+7=2^5+7=39
よってこのとき解なし

以上(i)(ii)より(p,q)=(2,5)


(1)の誘導無しでは解けなかったと思います。誘導に感謝です