k^n(n:自然数)

思いのままに書き綴ります

2016年京都大学理系数学大問2

明日は休みなのでこんな時間から書きます。

2016年京都大学理系数学大問2
素数p,qを用いてp^q+q^pと表される素数をすべて求めよ。

(考察)
素数と来たら僕はまず2の存在を考えるようにしてます。唯一の偶数ですから。
少なくともp,q2以上ですからp^q+q^p\geqq8は容易にわかります。まぁこれでp,q両方とも2でないことはわかります。
同様に両方とも奇数を考えて見ても、これまたそうでないことがわかります。
つまり、p,qのうち一方は2であることがわかります。
さらに今回の問題で大きな手がかりとなる条件は「素数」です。まっさきに僕が思いつくのは「5以上の素数は全て6n-1もしくは6n+1で表せる」ですね。つまり6で割ったら余りは-11ってことですから合同式で攻めようかな、と考えました。

考察長すぎかなぁ?


(解答)
p,qの偶奇が異なることを示す
p,qがどちらも偶数、つまり2であるとき
p^q+q^p=2^2+2^2=8
よって素数にならず不適
p,qがどちらも奇数であるとき(mod2として)
p\equiv1よりp^q\equiv1
同様にq^p\equiv1
よってp^q+q^p\equiv2\equiv0
よって2で割り切れこれは素数ではなく不適
よってp,qのうち一方は偶数、つまり2である
p^q+q^pp,q対称だからどちらを2としてもよい
よってp=2とする
つまり2^q+q^2素数となるqを求める
ここでa,n自然数として素数6n\pmaで表す方法を考える
(6nは明らかに6の倍数)
6n\pm2=2(3n\pm1)2の倍数
6n\pm3=3(2n\pm1)3の倍数であるが
6n\pm1は共通因数をくくることが出来ない。また、n自然数のとき6n-a\geqq6-1=5だから
5以上のすべての素数6n-1もしくは6n+1で表せる
ことがわかる
q5以上とするとq2^q+q^2(\geqq2^5+5^2=57\geqq5)6を法として1もしくは-1と合同である(以下、法を6とする)
(i)2^q+q^2\equiv1のとき
q\equiv\pm1より
q^2\equiv1
よって2^q\equiv0となる
つまり2^q6=2\times3で割り切れなければならないが2^qは明らかに3を因数に含まないから
2^q\equiv0とはならない
よって不適
(ii)2^q+q^2\equiv-1のとき
(i)同様q^2\equiv1
よって2^q\equiv-2\equiv4となる
2\equiv2
2^2\equiv2^2=4
2^3\equiv4\times2=8\equiv2
2^4\equiv2\times2=4
\vdots
2^{2n}\equiv4
2^{2n+1}\equiv2
となるがq5以上の素数だから必ず奇数なので
2^q\equiv2
よって不適
(i)(ii)よりq<5つまりqの候補はq=3のみ
このときp^q+q^p=2^3+3^2=8+9=17となりp^q+q^p素数になる

故に題意を満たす素数17


素数の表し方を答案に書くべきか否かはよくわからなかったので書きました。でも、この書き方でいいのかは不明です。

簡単目でしょうか?

ミスや誤植があればご報告ください...


(追記)
同年東北大学の入試問題でも素数を用いた方程式が出題されていました。こちらもどうぞ。2016年東北大学理系数学大問2