k^n(n:自然数)

思いのままに書き綴ります

眠いです

(2014年東大レベル模試 大問3(2))
n,r1\le r\le nを満たす整数とする。このときr{}_n \mathrm{C} _r = n{}_{n-1} \mathrm{C} _{r-1}が成り立つことを示せ。

(考え方)
{}_n \mathrm{C} _rの定義をしっかり覚えていれば簡単に導出できます。

(解答)
r{}_n \mathrm{C} _r
=r\frac{n!}{r!(n-r)!}←これが重要!

ここから右辺の形に仕上げていきます

=\frac{n!}{(r-1)!(n-r)!}←rで約分
=n\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}←右辺の形に近づける
=n\frac{(n-1)!}{(r-1)!\{(n-1)-(r-1)\}!}
=n{}_{n-1} \mathrm{C} _{r-1}

これで終わりです
最後の形を考えながら式変形をすればいけますねきっと。