眠いです - k^n(n:自然数)

(2014年東大レベル模試大問3(2))
$n,r$ は $1\le r\le n$ を満たす整数とする。このとき $r{}_n \mathrm{C} _r = n{}_{n-1} \mathrm{C} _{r-1}$ が成り立つことを示せ。

(考え方)
${}_n \mathrm{C} _r$ の定義をしっかり覚えていれば簡単に導出できます。

(解答)
$r{}_n \mathrm{C} _r$
$=r\frac{n!}{r!(n-r)!}$ ←これが重要！

ここから右辺の形に仕上げていきます

$=\frac{n!}{(r-1)!(n-r)!}$ ←rで約分
$=n\frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!}$ ←右辺の形に近づける
$=n\frac{(n-1)!}{(r-1)!\{(n-1)-(r-1)\}!}$
$=n{}_{n-1} \mathrm{C} _{r-1}$

これで終わりです
最後の形を考えながら式変形をすればいけますねきっと。