読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

k^n(n:自然数)

思いのままに書き綴ります

解いた問題をまとめたり

そんな作業によって僕だけじゃなくてほかの人の役にも立てたらいいなと思っています。
(2014年東大レベル模試 大問3(1))
 {}_{98} \mathrm{C} _0 + {}_{98} \mathrm{C} _1 + ... + {}_{98} \mathrm{C} _{98} = 28(1 + 8 + 8^2 + ... + 8^{31}) + 4であることを示せ。

(考え方)
大量の {}_{98} \mathrm{C} _kインパクトある問題ですが...まずはこいつを退治しましょう。右辺は等比数列の和であることが一目瞭然ですからね。でも実は定石通りに解ける問題なんです。

大量の {}_{98} \mathrm{C} _k⇒「二項定理」の出番です!

(答案)
二項定理より (x+1)^{98} = {}_{98} \mathrm{C} _0x^{98} + {}_{98} \mathrm{C} _1x^{97}1^1 + {}_{98} \mathrm{C} _2x^{96}1^2 + ... + {}_{98} \mathrm{C} _{97}x^11^{97} + {}_{98} \mathrm{C} _{98}1^{98}よりx=1とすると
(1+1)^{98} = {}_{98} \mathrm{C} _0 + {}_{98} \mathrm{C} _1 + {}_{98} \mathrm{C} _2 + ... + {}_{98} \mathrm{C} _{98}
よって(左辺) = 2^{98}である。~①

これで左辺の問題は解決したので右辺が2^{98}になってくれることを期待して右辺を変形していきます。

(右辺) = 28 \sum_{k=0}^{31} 8^k+4
{} = 28 \frac{1(8^{32}-1)}{8-1}+4
{} = 4(8^{32}-1)+4
{} = 4((2^3)^{32}-1)+4
{} = 4(2^{96}-1)+4
{} = 4(2^{96})
{} = 2^22^{96}
{} = 2^{98}
よって(右辺) = 2^{98} ~②

持っていきたい結果になりました!

①②より与式の証明はされた。


実は僕は二項定理が頭から消えていて思いつきませんでした...先生に聞いてようやく二項定理の存在を思い出したんですね、案外基本問題だと思います、東大レベル模試としては。
(2)の問題も貼っておきます。

(2014年東大レベル模試 大問3(2))
n,r1\le r\le nを満たす整数とする。このときr{}_n \mathrm{C} _r = n{}_{n-1} \mathrm{C} _{r-1}が成り立つことを示せ。

ではでは。