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k^n(n:自然数)

思いのままに書き綴ります

2016年東京大学理系数学大問5

大学入試問題 数学 数A

整数問題なんだけど整数問題じゃない問題...

2016年東京大学理系数学大問5
kを正の整数とし、10進法で表された小数点以下k桁の実数
0.a_1a_2\cdots{a_k}=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\cdots\frac{a_k}{10^k}1つとる。ここで、a_1,a_2,\cdots,a_k0から9までの整数で、a_k\neq0とする。

問題文がやや長めなので設問ごとに書きます(設問ごとに記事を書いてるからっていうのが本当の理由ですが...)

(1)次の不等式を満たす正の整数nをすべて求めよ。
0.a_1a_2\cdots{a_k}\leqq\sqrt{n}-10^k<0.a_1a_2\cdots{a_k}+10^{-k}

(考察)
\sqrt{n}が明らかに厄介だから二乗したい...って思いますよね。10^kを全ての項に足してあげると運良くどの項も正なので2乗できることがわかりますね。あと、0.a_1a_2\cdots{a_k}も何度も書いてたら大変だからxとでも置いちゃいましょう。酷い答えになりそうなのは見え見えなんですが頑張りましょう...

(解答)
0.a_1a_2\cdots{a_k}=xとおき、与えられた不等式を変形すると
10^k+x\leqq\sqrt{n}<10^k+x+10^{-k}となる
すべて正だから2乗しても同値なので
(10^k+x)^2\leqq{n}<(10^k+x+10^{-k})^2

まず(10^k+x)^2\leqq{n}について考える
(10^k+x)^2=10^{2k}+2\cdot10^kx+x^2
10^{2k}は明らかに正の整数で、
\begin{eqnarray}
2\cdot10^kx
&=&2\cdot10^k(0.a_1a_2\cdots{a_k})\\
&=&2(10^{k-1}a_1+10^{k-2}a_2+\cdots+10a_{k-1}+a_k)\end{eqnarray}となりこれも正の整数になる
また、0<{x}<1だから0<{x^2}<1となり
10^{2k}+2\cdot10^kx<10^{2k}+2\cdot10^kx+x^2<10^{2k}+2\cdot10^kx+1
つまり
10^{2k}+2\cdot10^kx<(10^k+x)^2<10^{2k}+2\cdot10^kx+1
(10^k+x)^2\leqq{n}nは正の整数だから
10^{2k}+2\cdot10^kx+1\leqq{n}となる

次にn<(10^k+x+10^{-k})^2について考える
\begin{eqnarray}
(10^k+x+10^{-k})^2&=&
\{10^k+(x+10^{-k})\}^2\\
&=&10^{2k}+2\cdot10^k(x+10^{-k})+(x+10^{-k})^2\\
&=&10^{2k}+2\cdot10^kx+2+(x+10^{-k})^2
\end{eqnarray}
ここで、(x+10^{-k})^2について
0<{x}\leqq0.\underbrace{99\cdots9}_{kコ}であるから
0<{x}+10^{-k}\leqq1となり
0<(x+10^{-k})^2\leqq1
よって
10^{2k}+2\cdot10^kx+2<10^{2k}+2\cdot10^kx+2+(x+10^{-k})^2\leqq10^{2k}+2\cdot10^kx+2+1
つまり
10^{2k}+2\cdot10^kx+2<(10^k+x+10^{-k})^2\leqq10^{2k}+2\cdot10^kx+2+1
n<(10^k+x+10^{-k})^2nは正の整数だから
n\leqq10^{2k}+2\cdot10^kx+2

故に
10^{2k}+2\cdot10^kx+1\leqq{n}\leqq10^{2k}+2\cdot10^kx+2
これにx=0.a_1a_2\cdots{a_k}を代入して
n=10^{2k}+2(10^{k-1}a_1+10^{k-2}a_2+\cdots10a_{k-1}+a_k)+1
n=10^{2k}+2(10^{k-1}a_1+10^{k-2}a_2+\cdots10a_{k-1}+a_k)+2
の2つが解である


というわけで現在はここまでしか解けていませんがかなり頑張って解いたので嬉しさでもう記事を上げてしまいました。
このあとここにプラスして(2)以降を解こうか新しい記事に書くかはまだ未定です。
数Aなのか...?

数Ⅲに入って微分に躓いている

数Ⅲ つぶやき 数学

数Ⅱの微積分はとりあえず計算していればいいものでしたけど、数Ⅲ入ってからちょっと暗雲が立ち込めてますねぇ。
合成関数の微分がとにかく各所で出てくるんですよね。今日ちょっと(ちょっとどころではないが)躓いた問題を1つ。

x^2+3xy-y^2=1\frac{dy}{dx}で表わせ。

y^2微分で躓いたわけです。

x^2+3xy-y^2=0を両辺x微分すると
\begin{eqnarray}
2x+3(y+x\frac{d}{dx}y)-\frac{d}{dx}y^2
&=&0\\
2x+3y+3x\frac{dy}{dx}-\frac{d}{dx}y^2
&=&0\end{eqnarray}
ここまではできたんですが、鬼門(?)はy^2です
そこで、y^2=(5x+4)^2と適当にyに式を置いて考えてみました。この場合、微分\frac{d}{dx}y^2=2(5x+4)\cdot(5x+2)'です
つまり\frac{d}{dx}y^2=2y\cdot{y}'ということです
元の式に戻って
\begin{eqnarray}
2x+3y+3x\frac{dy}{dx}-\frac{d}{dx}y^2
&=&0\\
2x+3y+3x\frac{dy}{dx}-2y\frac{dy}{dx}
&=&0\\
2x+3y+(3x-2y)\frac{dy}{dx}
&=&0
\frac{dy}{dx}=-\frac{2x+3y}{3x-2y}
\end{eqnarray}
(但し3x-2y\neq0)

まぁ個人用のメモ的な記事ですよね、失礼しました。

素数はほぼ4n±1や6n±1で表せる

つぶやき 数学 数A

昨日寝る前に思いついたので書いておきます。
3以上のある数p素数である\Rightarrow p=4n\pm{1}と表される
は、対偶をとると
ある数pp=4n\pm{1}と表されない\Rightarrow p素数ではない
つまり
p=4n,4n+2\Rightarrow pは合成数
を示せばよい、ということに昨日になって気づきました、なんで気づかなかった

明らかにどちらも偶数なので示せますよね

p6以上の時も同様にして6n\pm{1}についても
p=6n,6n\pm2,6n+3\Rightarrow pは合成数
をいえばよく、偶数か3の倍数になるので示せます

対偶とか実際忘れかけてた

お久しぶりですん

日記

講習の予習とかでてんてこ舞いになってました。ブログですから問題解くだけじゃなくて日記も書きましょう。
風邪ひいたんですよ。咳がとにかく辛い。あと全身がだるいです。熱は全くないのでインフルはないと思いますがやはり健康体じゃないからですかね、頭がぼーっとしてます
早く治らないかなぁ

話はガラッと変わります
最近勉強のお供にコーヒー牛乳飲むのにハマってます。コップ満杯を10としてボトルコーヒーと牛乳を7:2くらいですかね。コーヒーだけだと僕は無理です。
中毒患者並みにゴックゴク飲んでます。いや、ボトルコーヒー程度でカフェイン中毒にはならないでしょうけど。

最後はやっぱり数学の話になります
やって欲しい問題あれば下さい!暇な時に数学解いてるので(問題演習も兼ねて)。もちろん今年の大学入試問題も解いていこうと思っていますけど、「この問題面白いよ!」とか「こんなの作ってみた!」みたいなのあったらお願いします(解けるとは言っていない)。
数Ⅲはほぼ解けません、ご容赦あれ。

終わりー。

友人から貰ったどこの大学かわからない問題

数学 数Ⅱ 数B
?年?大学
1次式f_n(x) (n=1,2,3,\cdots)\displaystyle{f_1(x)}=x+1,xf_{n+1}(x)=x+x^2+\int_0^x f_n(t) dtを満たすとき次の問いに答えなさい
(1)f_2(x)をもとめなさい
(2)f_n(x)をもとめなさい

(解答)
(1)
与えられた漸化式より
\displaystyle\begin{eqnarray}
xf_2(x)
&=&x+x^2+\int_0^x (t+1) dt\\
&=&x+x^2+\frac{1}{2}x^2+x\\
&=&\frac{3}{2}x^2+2x\\f_2(x)
&=&\frac{3}{2}x+2\end{eqnarray}

(2)
f_n(x)=a_nx+b_nとおくと
\displaystyle\begin{eqnarray}
x(a_{n+1}x+b_{n+1})
&=&x+x^2+\int_0^x {(a_nt+b_n)} dt\\
&=&x+x^2+\frac{a_n}{2}x^2+b_nx\\
&=&(\frac{a_n}{2}+1)x^2+(b_n+1)x\\
a_{n+1}x+b_{n+1}&=&(\frac{a_n}{2}+1)x+(b_n+1)
\end{eqnarray}
よって
a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+1\cdots
b_{n+1}=b_n+1\cdots
①はa_{n+1}-2=\frac{1}{2}(a_n-2)と変形できるので
\{a_n-2\}は公比\frac{1}{2}等比数列である
また、a_1-2=1-2=-1だから
\begin{eqnarray}a_n-2
&=&-1\cdot(\frac{1}{2})^{n-1}\\
&=&-(\frac{1}{2})^{n-1}\\
a_n&=&2-(\frac{1}{2})^{n-1}\end{eqnarray}
②はb_{n+1}-b_n=1だから
\{b_n\}は公差1の等差数列である
また、b_1=1だから
\begin{eqnarray}b_n
&=&1+(n-1)\cdot1\\
&=&n
\end{eqnarray}
故に
f_n(x)=\{2-(\frac{1}{2})^{n-1}\}x+n

卓球

日記

今日は球技大会でした。(明日も)
僕はそもそも球技が大の苦手なのですが、ソフトボールと卓球は数少ない、楽しめる球技です。とはいえ弱い。
まぐれでスマッシュが決まっても楽しいし、チーム戦でありながらも一応個人競技の一面もあるのでそこまで責任感なく楽しめるのも良い点なのかも知れません。(こんな事言ったら卓球関係者に怒られそう)
バスケとかバレーとかはバッキバキのチーム戦なのでどうもミスしたときを恐れてしまって楽しめないんです。
まぁそんなことはいいんですけど、明日のために今日も大会後に集まって練習してました。非常に疲れた。
というわけでもう寝ます。
おやすみなさい

2016年東京大学文系数学大問4

大学入試問題 数学 数A

理系数学は難しいけど文系数学なら...と東大に挑戦です。

2016年東京大学文系数学大問4
以下の問いに答えよ。ただし、(1)については、結論のみを書けばよい。
(1)nを正の整数とし、3^n10で割った余りをa_nとする。a_nを求めよ。
(2)nを正の整数とし、3^n4で割った余りをb_nとする。b_nを求めよ。
(3)数列\{x_n\}を次のように定める。
x_1=1,x_{n+1}=3^{x_n}(n=1,2,3,\cdots)
x_{10}10で割った余りを求めよ。


(考察)
(1)は結論だけ書けばいいと言っていますがちゃんと答案を書いているつもりで考えた方がいいと思います。そうすれば(2)にもつながるはず。余りについての問題なので合同式が有効であることは東大受験者は気付かないといけないでしょうね。
(3)は(1)(2)を使うことをとにかく考えます。


(解答)
(1)10を法として
3\equiv3
3^2\equiv9
3^3\equiv27\equiv7
3^4\equiv21\equiv1
3^5\equiv3
以降これが続くので、kを非負整数として

  a_n = \left\{ \begin{array}{ll}
    1 & (n=4k) \\
    3 & (n=4k+1) \\
    9 & (n=4k+2) \\
    7 & (n=4k+3)
  \end{array} \right.


(2)4を法として
3\equiv3
3^2\equiv3\cdot3=9\equiv1
3^3\equiv1\cdot3=3
以降3,1,3,1,\cdotsと続き、答えは

  b_n = \left\{ \begin{array}{ll}
    3 & (nが奇数) \\
    1 & (nが偶数) 
  \end{array} \right.

(3)4を法として
x_2=3^{x_1}=3^1=3
x_3=3^{x_2}=3^3=27\equiv3
よって(2)からx_4=3^{x_3}\equiv3
同様にx_5=3^{x_4}\equiv3
繰り返して
x_{10}=3^{x_9}\equiv3
よってx_{10}=4m+3と表せる整数mが存在し
(1)から10を法としてx_{10}\equiv7となる
故に
x_{10}10で割った余りは7


文系数学としては難しく理系数学としては易しい問題ですかね。難易度調整がすごい。