2016-04-03

2016年東京大学理系数学大問5

整数問題なんだけど整数問題じゃない問題...

2016年東京大学理系数学大問5
を正の整数とし、進法で表された小数点以下桁の実数

をつとる。ここで、はからまでの整数で、とする。

問題文がやや長めなので設問ごとに書きます(設問ごとに記事を書いてるからっていうのが本当の理由ですが...)

(1)次の不等式を満たす正の整数 $n$ をすべて求めよ。
$0.a_1a_2\cdots{a_k}\leqq\sqrt{n}-10^k<0.a_1a_2\cdots{a_k}+10^{-k}$

(考察)
$\sqrt{n}$ が明らかに厄介だから二乗したい...って思いますよね。 $10^k$ を全ての項に足してあげると運良くどの項も正なので2乗できることがわかりますね。あと、 $0.a_1a_2\cdots{a_k}$ も何度も書いてたら大変だから $x$ とでも置いちゃいましょう。酷い答えになりそうなのは見え見えなんですが頑張りましょう...

(解答)
$0.a_1a_2\cdots{a_k}=x$ とおき、与えられた不等式を変形すると
$10^k+x\leqq\sqrt{n}<10^k+x+10^{-k}$ となる
すべて正だから2乗しても同値なので
$(10^k+x)^2\leqq{n}<(10^k+x+10^{-k})^2$

まず $(10^k+x)^2\leqq{n}$ について考える
$(10^k+x)^2=10^{2k}+2\cdot10^kx+x^2$
$10^{2k}$ は明らかに正の整数で、
$\begin{eqnarray} 2\cdot10^kx &=&2\cdot10^k(0.a_1a_2\cdots{a_k})\\ &=&2(10^{k-1}a_1+10^{k-2}a_2+\cdots+10a_{k-1}+a_k)\end{eqnarray}$ となりこれも正の整数になる
また、 $0<{x}<1$ だから $0<{x^2}<1$ となり
$10^{2k}+2\cdot10^kx<10^{2k}+2\cdot10^kx+x^2<10^{2k}+2\cdot10^kx+1$
つまり
$10^{2k}+2\cdot10^kx<(10^k+x)^2<10^{2k}+2\cdot10^kx+1$
$(10^k+x)^2\leqq{n}$ で $n$ は正の整数だから
$10^{2k}+2\cdot10^kx+1\leqq{n}$ となる

次に $n<(10^k+x+10^{-k})^2$ について考える
$\begin{eqnarray} (10^k+x+10^{-k})^2&=& \{10^k+(x+10^{-k})\}^2\\ &=&10^{2k}+2\cdot10^k(x+10^{-k})+(x+10^{-k})^2\\ &=&10^{2k}+2\cdot10^kx+2+(x+10^{-k})^2 \end{eqnarray}$
ここで、 $(x+10^{-k})^2$ について
$0<{x}\leqq0.\underbrace{99\cdots9}_{kコ}$ であるから
$0<{x}+10^{-k}\leqq1$ となり
$0<(x+10^{-k})^2\leqq1$
よって
$10^{2k}+2\cdot10^kx+2<10^{2k}+2\cdot10^kx+2+(x+10^{-k})^2\leqq10^{2k}+2\cdot10^kx+2+1$
つまり
$10^{2k}+2\cdot10^kx+2<(10^k+x+10^{-k})^2\leqq10^{2k}+2\cdot10^kx+2+1$
$n<(10^k+x+10^{-k})^2$ で $n$ は正の整数だから
$n\leqq10^{2k}+2\cdot10^kx+2$

故に
$10^{2k}+2\cdot10^kx+1\leqq{n}\leqq10^{2k}+2\cdot10^kx+2$
これに $x=0.a_1a_2\cdots{a_k}$ を代入して
$n=10^{2k}+2(10^{k-1}a_1+10^{k-2}a_2+\cdots10a_{k-1}+a_k)+1$
$n=10^{2k}+2(10^{k-1}a_1+10^{k-2}a_2+\cdots10a_{k-1}+a_k)+2$
の2つが解である

というわけで現在はここまでしか解けていませんがかなり頑張って解いたので嬉しさでもう記事を上げてしまいました。
このあとここにプラスして(2)以降を解こうか新しい記事に書くかはまだ未定です。
数Ａなのか...?

2016-04-01

数Ⅲに入って微分に躓いている

数Ⅲ つぶやき数学

数Ⅱの微積分はとりあえず計算していればいいものでしたけど、数Ⅲ入ってからちょっと暗雲が立ち込めてますねぇ。
合成関数の微分がとにかく各所で出てくるんですよね。今日ちょっと(ちょっとどころではないが)躓いた問題を1つ。

をで表わせ。

$y^2$ の微分で躓いたわけです。

$x^2+3xy-y^2=0$ を両辺 $x$ で微分すると
$\begin{eqnarray} 2x+3(y+x\frac{d}{dx}y)-\frac{d}{dx}y^2 &=&0\\ 2x+3y+3x\frac{dy}{dx}-\frac{d}{dx}y^2 &=&0\end{eqnarray}$
ここまではできたんですが、鬼門(?)は $y^2$ です
そこで、 $y^2=(5x+4)^2$ と適当に $y$ に式を置いて考えてみました。この場合、微分は $\frac{d}{dx}y^2=2(5x+4)\cdot(5x+2)'$ です
つまり $\frac{d}{dx}y^2=2y\cdot{y}'$ ということです
元の式に戻って
$\begin{eqnarray} 2x+3y+3x\frac{dy}{dx}-\frac{d}{dx}y^2 &=&0\\ 2x+3y+3x\frac{dy}{dx}-2y\frac{dy}{dx} &=&0\\ 2x+3y+(3x-2y)\frac{dy}{dx} &=&0 \frac{dy}{dx}=-\frac{2x+3y}{3x-2y} \end{eqnarray}$
(但し $3x-2y\neq0$ )

まぁ個人用のメモ的な記事ですよね、失礼しました。

2016-03-30

素数はほぼ4n±1や6n±1で表せる

つぶやき数学数Ａ

昨日寝る前に思いついたので書いておきます。
$3$ 以上のある数 $p$ が素数である $\Rightarrow p=4n\pm{1}$ と表される
は、対偶をとると
ある数 $p$ が $p=4n\pm{1}$ と表されない $\Rightarrow p$ は素数ではない
つまり
$p=4n,4n+2\Rightarrow p$ は合成数
を示せばよい、ということに昨日になって気づきました、なんで気づかなかった

明らかにどちらも偶数なので示せますよね

$p$ が $6$ 以上の時も同様にして $6n\pm{1}$ についても
$p=6n,6n\pm2,6n+3\Rightarrow p$ は合成数
をいえばよく、偶数か $3$ の倍数になるので示せます

対偶とか実際忘れかけてた

2016-03-28

お久しぶりですん

日記

講習の予習とかでてんてこ舞いになってました。ブログですから問題解くだけじゃなくて日記も書きましょう。
風邪ひいたんですよ。咳がとにかく辛い。あと全身がだるいです。熱は全くないのでインフルはないと思いますがやはり健康体じゃないからですかね、頭がぼーっとしてます
早く治らないかなぁ

話はガラッと変わります
最近勉強のお供にコーヒー牛乳飲むのにハマってます。コップ満杯を10としてボトルコーヒーと牛乳を7:2くらいですかね。コーヒーだけだと僕は無理です。
中毒患者並みにゴックゴク飲んでます。いや、ボトルコーヒー程度でカフェイン中毒にはならないでしょうけど。

最後はやっぱり数学の話になります
やって欲しい問題あれば下さい！暇な時に数学解いてるので(問題演習も兼ねて)。もちろん今年の大学入試問題も解いていこうと思っていますけど、「この問題面白いよ！」とか「こんなの作ってみた！」みたいなのあったらお願いします(解けるとは言っていない)。
数Ⅲはほぼ解けません、ご容赦あれ。

終わりー。

2016-03-23

友人から貰ったどこの大学かわからない問題

数学数Ⅱ 数Ｂ

？年？大学
次式 がを満たすとき次の問いに答えなさい
(1)をもとめなさい
(2)をもとめなさい

(解答)
(1)
与えられた漸化式より
$\displaystyle\begin{eqnarray} xf_2(x) &=&x+x^2+\int_0^x (t+1) dt\\ &=&x+x^2+\frac{1}{2}x^2+x\\ &=&\frac{3}{2}x^2+2x\\f_2(x) &=&\frac{3}{2}x+2\end{eqnarray}$

(2)
$f_n(x)=a_nx+b_n$ とおくと
$\displaystyle\begin{eqnarray} x(a_{n+1}x+b_{n+1}) &=&x+x^2+\int_0^x {(a_nt+b_n)} dt\\ &=&x+x^2+\frac{a_n}{2}x^2+b_nx\\ &=&(\frac{a_n}{2}+1)x^2+(b_n+1)x\\ a_{n+1}x+b_{n+1}&=&(\frac{a_n}{2}+1)x+(b_n+1) \end{eqnarray}$
よって
$a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+1\cdots$ ①
$b_{n+1}=b_n+1\cdots$ ②
①は $a_{n+1}-2=\frac{1}{2}(a_n-2)$ と変形できるので
$\{a_n-2\}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である
また、 $a_1-2=1-2=-1$ だから
$\begin{eqnarray}a_n-2 &=&-1\cdot(\frac{1}{2})^{n-1}\\ &=&-(\frac{1}{2})^{n-1}\\ a_n&=&2-(\frac{1}{2})^{n-1}\end{eqnarray}$
②は $b_{n+1}-b_n=1$ だから
$\{b_n\}$ は公差 $1$ の等差数列である
また、 $b_1=1$ だから
$\begin{eqnarray}b_n &=&1+(n-1)\cdot1\\ &=&n \end{eqnarray}$
故に
$f_n(x)=\{2-(\frac{1}{2})^{n-1}\}x+n$