2016-03-20

自作問題

数Ⅲ 数学数Ｂ

30分くらいで作ってみました。結果なかなか質が低いものが。

自作問題1
数列を次のように定める

このとき以下の問いに答えよ。
(1)を最大にするとそのときのの値を求めよ。
(2)極限を求めよ。

別解は随時追加したいと思います、多分

(ポイント)
(1) $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$ を不等式で表せたら $n$ がわかるので $a_n$ と $a_{n+1}$ を比べてみます
(2)発想次第でいくらでも解法はあると思います

(解答)
(1)
$\begin{eqnarray}a_n&=&\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n!}\\&=&\frac{n(n+1)}{2n(n-1)!}\\&=&\frac{n+1}{2(n-1)!}\end{eqnarray}$
よって
$a_{n+1}=\frac{n+2}{2\cdot{n}!}$
明らかに $a_n>0$ だから $a_{n+1}>a_n$ のとき $\frac{a_{n+1}}{a_n}>1$
つまり
$\begin{eqnarray}\frac{a_{n+1}}{a_n}&=&\frac{n+2}{2\cdot{n}!}\cdot\frac{2(n-1)!}{n+1}\\&=&\frac{2(n+2)(n-1)!}{2(n+1)n(n-1)!}\\&=&\frac{n+2}{n(n+1)}>1\end{eqnarray}$
これを解くと $2>n^2$ つまり $n=1$ のみ
同様に $a_{n+1}<{a_n}$ のとき $\frac{a_{n+1}}{a_n}<1$ だからこれを解くと
$2<{n^2}$ つまり $n\geqq{2}$
これらをまとめると
$a_1<{a_2}>a_3>a_4>\cdots$ となり
求める $n$ は $2$
このとき
$\begin{eqnarray}a_2&=&\frac{2+1}{2\cdot(2-1)!}\\&=&\frac{3}{2}\end{eqnarray}$

(2)
$\begin{eqnarray}a_n&=&\frac{(n-1)+2}{2(n-1)!}\\&=&\frac{n-1}{2(n-1)(n-2)!}+\frac{2}{2(n-1)!}\\&=&\frac{1}{2(n-2)!}+\frac{1}{(n-1)!}\end{eqnarray}$
よって
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty}\{\frac{1}{2(n-2)!}+\frac{1}{(n-1)!}\}=0$

(2)別解①
$6$ 以上の $n$ で $n+1<(n-2)!$ であることを数学的帰納法で示す
$\vdots$
故に $6$ 以上の $n$ で $n+1<(n-2)!$ である
つまり
$6$ 以上の $n$ で
$\begin{eqnarray}\frac{n+1}{2(n-1)!}&<&\frac{(n-2)!}{2(n-1)!}\\a_n&<&\frac{(n-2)!}{2(n-1)(n-2)!}=\frac{1}{2(n-1)}\end{eqnarray}$
$0<{a_n}$ かつ $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{1}{2(n-1)}=0$ だから、はさみうちの原理より
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n=0$

2016-03-20

2016年京都大学文系数学大問3

大学入試問題数学数Ａ数Ｂ

n進法が出題されました

2016年京都大学文系数学大問3
を以上の自然数とする。数がすべて進法で表記されているとしてが成り立っている。このときはいくつか。十進法で答えよ。

(考察)
n進法が理解出来ていればあとは単なる整数問題(整数問題しか記事にしてない気がする)。できるだけ実験を減らしたいところ。文字が左辺には指数、右辺には普通に置かれているので明らかに左辺が大きくなっていくのでそのポイントを発見できれば絞りこめる。左辺の計算は楽なので右辺の計算を楽にすれば全体として楽になりそう。

(解答)
与式を $n$ 進法表記を $10$ 進法に直すと $2^{n+2}=n^3+3n^2+3n+1$ となる
つまり $2^{n+2}=(n+1)^3$ となる
左辺の素因数は明らかに $2$ のみだから右辺の $n+1$ は自然数 $a$ を用いて $n+1=2^a$ と表される $\cdots$ ＊
ここで $n\geqq9$ のとき $2^{n+2}>(n+1)^3\cdots$ ☆となることを数学的帰納法で示す
(i) $n=9$ のとき
$(左辺)=2^{11}=2048,(右辺)=10^3=1000$ となり☆は成立
(ii) $n=k(\geqq9)$ のとき☆の成立、つまり $2^{k+2}>(k+1)^3$ を仮定すると
$\begin{eqnarray}2^{(k+1)+2}-\{(k+1)+1\}^3&=&2\cdot2^{k+2}-(k+2)^3\\&>&2(k+1)^3-(k+2)^3(∵仮定)\\&=&2k^3+6k^2+6k+2-k^3-6k^2-12k-8\\&=&k^3-6k-6\end{eqnarray}$
また
$\begin{eqnarray}k^3-6k-6&>&k^3-6k-9\\&=&(k-3)(k^2+3k+3)\\&=&(k+3)\{(k+\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}\}>0(∵k\geqq9)\end{eqnarray}$
故に
$2^{(k+1)+1}-\{(k+1)+1\}^3>0$ つまり
$2^{(k+1)+1}>\{(k+1)+1\}^3$ となり $n=k+1$ のときも☆は成立
(i)(ii)より $9$ 以上のすべての整数 $n$ で☆は成立
よって＊は $n\geqq9$ に対して解を持たない
つまり＊の解は $4\leqq{n}\leqq8$ の範囲にあるから $5\leqq{n+1}\leqq9$
この範囲で $n+1$ が $2^a$ で表されるものは $n+1=8$ のみ
$n=7$ を確かめると
$(左辺)=2^{7+2}=512,(右辺)=(7+1)^3=512$ となり $n=7$ は＊の解である

以上より求める $n$ は $7$

微分したくなかったので慣れない不等式評価をしてみました。もっといいやり方あったら教えてください。

2016-03-19

2016年一橋大学数学大問1

数学大学入試問題数Ｂ

文系数学の最高峰だと思います、一橋大学。
かなり時間かかりましたし解答もあまり綺麗ではないです...すみません。

2016年一橋大学数学大問1
を満たす以上の整数をすべて求めよ。

(考察)
$x=0$ はすぐわかったんですけど、とにかく計算が煩雑！あまり綺麗な問題だとは思わないですが...少し実験をして臨んでみます

(実験)
$x=1\cdots6\cdot3^3+1=163,7\cdot5^2=175$ よって不成立
$x=2\cdots6\cdot3^6+1=4375,7\cdot5^4=4375$ よって成立
$x=3\cdots6\cdot3^9+1=118099,7\cdot5^4=109375$ よって不成立
いやぁ計算量が...
この時点でこれ以降計算しても解は出ないかな、と思いました。で、よく計算結果を見てみると、 $x=1$ のとき $(左辺)<(右辺)$ でしたが $x=2$ で $(左辺)=(右辺)$ となり $x=3$ で $(左辺)>(右辺)$ となりました。左辺の増加スピードの方が速いのでしょうかね。あまりよくわかりませんが。でももしそうであれば、この後ずっと $(左辺)>(右辺)$ となり等号は成立しません。これを試しに示してみると...ね？

(解答)
$6\cdot3^{3x}+1=7\cdot5^{2x}\cdots$ ＊
$x=0$ のとき
$6\cdot3^0+1=7,7\cdot5^0=7$
よって＊は成立
$x=1$ のとき
$6\cdot3^3+1=163,7\cdot5^2=175$
よって＊は不成立
$x=2$
$6\cdot3^6+1=4375,7\cdot5^4=4375$
よって＊は成立
以降 $3$ 以上の $x$ に対して $6\cdot3^{3x}+1>7\cdot5^{2x}\cdots$ ☆であることを数学的帰納法で示す
(i) $x=3$ のとき
$(左辺)=6\cdot3^9+1=118099$
$(右辺)=7\cdot5^4=109375$
となり☆は成立する
(ii) $x=k$ のとき☆が成立する、つまり $6\cdot3^{3k}+1>7\cdot5^{2k}$ を仮定する
このとき、
$6\cdot3^{3(k+1)}+1-7\cdot5^{2(k+1)}$
$\begin{eqnarray}=3^3\cdot6\cdot3^{3k}-7\cdot5^2\cdot5^{2k}&>&27(7\cdot5^{2k}-1)+1-7\cdot5^2\cdot5^{2k}(∵仮定)\\&=&27\cdot7\cdot5^{2k}-26-25\cdot7\cdot5^{2k}\\&=&2\cdot7\cdot5^{2k}-26\\&\geqq&2\cdot7\cdot5^2-26\\&=&324>0\end{eqnarray}$
よって
$6\cdot3^{3(k+1)}+1-7\cdot5^{2(k+1)}>0$
つまり
$6\cdot3^{3(k+1)}+1>7\cdot5^{2(k+1)}$ となり
☆は $x=k+1$ のときも成立する
よって(i)(ii)より $3$ 以上の $x$ に対して☆が成立
故に＊は $3$ 以上の解を持たない

以上より求める解は $x=0,2$

絶対どこかミスしてる...
タグも数Ｂでいいのかなぁ

2016-03-16

PV

つぶやき

どうやら数学の解答(特に入試問題)を書くとPV増えるっぽいですね。
現在、数問頭を悩ませております、お楽しみに！(きっと簡単な問題なのかも知れませんが...)

2016-03-15

学年末考査結果

日記

教科	点数	備考
現代文	55	平均切り
古典	80
数学	83	学年3位
英文法	97
英表現	110/120	恐らく学年1位
リスニング	36/41
物理	116/200
化学	87
地理	69
政経	91
保健(笑)	77
合計(補正済)	788	学年4位

現代文ですね、わかります
また頑張ります