2016-03-12

2016年東北大学理系数学大問2

大学入試問題数学数Ｂ数Ａ

前回の記事とほぼ同じ問題が東北大学でも出題されていたので一緒に

2016年東北大学理系数学大問2
以下の問いに答えよ
(1)以上の整数に対して不等式が成り立つことを数学的帰納法により示せ。
(2)等式を満たす素数の組をすべて求めよ。

(考察)
(1)は何も考える必要ないですね。簡単です。(2)は前回の記事と同じ戦法で行きたいと思います。但し(1)があからさまな誘導なのでそれに乗ることにします。

(解答)
(1) $2^n>n^2+7\cdots$ ＊
(i) $n=6$ のとき
＊について $(左辺)=2^6=64,(右辺)=6^2+7=53$
よって $(左辺)>(右辺)$ となり＊は成立

(ii) $n=k$ のとき＊の成立、つまり $2^k>k^2+7$ を仮定すると
$2^{k+1}-(k+1)^2-7$
$=2\cdot2^k-(k+1)^2-7$
$>2(k^2+7)-(k+1)^2-7$
$=2k^2+14-k^2-2k-8$
$=k^2-2k+6$
$=(k-1)^2+5>0$
よって $2^{k+1}-(k+1)^2-7>0$ だから
$2^{k+1}>(k+1)^2+7$ となり＊は $k+1$ のときも成立

故に(i)(ii)より
$6$ 以上の整数 $n$ に対して不等式 $2^n>n^2+7$ が成り立つ

(2)
$p,q$ の偶奇が異なることを示す
$p=q=2$ のとき $2^2=2^2+7$ となりこれは不適
また $p,q$ が奇数のとき $2$ を法として
$p\equiv1,q\equiv1$
よって
$p^q\equiv1,q^p\equiv1$
$q^p+7\equiv8\equiv0$
よって $p^q\equiv$ $q^p+7$ とならずこれも不適
故に $p,q$ のいずれか一方は偶数、つまり $2$ である

(i) $p=2$ のとき
$2^q=q^2+7$ となる $q$ を求める
(1)より $q$ が $6$ 以上のとき $2^q>q^2+7$ だから $q=3,5$ を調べると
・ $q=3$ …… $2^q=2^3=8,q^2+7=3^2+7=16$
・ $q=5$ …… $2^q=2^5=32,q^2+7=5^2+7=32$
よって解の一つは $(p,q)=(2,5)$

(ii) $q=2$ のとき
$p^2=2^p+7$ つまり $2^p=p^2-7$ となる $p$ を求める
(1)より $p$ が $6$ 以上のとき $2^p>p^2+7$ だから $p^2-7>p^2+7$ となるが、これは明らかに成り立たない
よって $p=3,5$ を調べると
・ $p=3$ …… $p^2=3^2=9,2^p+7=2^3+7=15$
・ $p=5$ …… $p^2=5^2=25,2^p+7=2^5+7=39$
よってこのとき解なし

以上(i)(ii)より $(p,q)=(2,5)$

(1)の誘導無しでは解けなかったと思います。誘導に感謝です

2016-03-12

2016年京都大学理系数学大問2

大学入試問題数学数Ａ

明日は休みなのでこんな時間から書きます。

2016年京都大学理系数学大問2
素数を用いてと表される素数をすべて求めよ。

(考察)
素数と来たら僕はまず $2$ の存在を考えるようにしてます。唯一の偶数ですから。
少なくとも $p,q$ は $2$ 以上ですから $p^q+q^p\geqq8$ は容易にわかります。まぁこれで $p,q$ 両方とも $2$ でないことはわかります。
同様に両方とも奇数を考えて見ても、これまたそうでないことがわかります。
つまり、 $p,q$ のうち一方は $2$ であることがわかります。
さらに今回の問題で大きな手がかりとなる条件は「素数」です。まっさきに僕が思いつくのは「 $5$ 以上の素数は全て $6n-1$ もしくは $6n+1$ で表せる」ですね。つまり $6$ で割ったら余りは $-1$ か $1$ ってことですから合同式で攻めようかな、と考えました。

考察長すぎかなぁ？

(解答)
$p,q$ の偶奇が異なることを示す
$p,q$ がどちらも偶数、つまり $2$ であるとき
$p^q+q^p=2^2+2^2=8$
よって素数にならず不適
$p,q$ がどちらも奇数であるとき( $mod2$ として)
$p\equiv1$ より $p^q\equiv1$
同様に $q^p\equiv1$
よって $p^q+q^p\equiv2\equiv0$
よって $2$ で割り切れこれは素数ではなく不適
よって $p,q$ のうち一方は偶数、つまり $2$ である
$p^q+q^p$ は $p,q$ 対称だからどちらを $2$ としてもよい
よって $p=2$ とする
つまり $2^q+q^2$ が素数となる $q$ を求める
ここで $a,n$ を自然数として素数を $6n\pm$ $a$ で表す方法を考える
( $6n$ は明らかに $6$ の倍数)
$6n\pm2=2(3n\pm1)$ は $2$ の倍数
$6n\pm3=3(2n\pm1)$ は $3$ の倍数であるが
$6n\pm1$ は共通因数をくくることが出来ない。また、 $n$ が自然数のとき $6n-a\geqq6-1=5$ だから
$5$ 以上のすべての素数は $6n-1$ もしくは $6n+1$ で表せる
ことがわかる
$q$ を $5$ 以上とすると $q$ と $2^q+q^2(\geqq2^5+5^2=57\geqq5)$ は $6$ を法として $1$ もしくは $-1$ と合同である(以下、法を $6$ とする)
(i) $2^q+q^2\equiv1$ のとき
$q\equiv\pm1$ より
$q^2\equiv1$
よって $2^q\equiv0$ となる
つまり $2^q$ が $6=2\times3$ で割り切れなければならないが $2^q$ は明らかに $3$ を因数に含まないから
$2^q\equiv0$ とはならない
よって不適
(ii) $2^q+q^2\equiv-1$ のとき
(i)同様 $q^2\equiv1$
よって $2^q\equiv-2\equiv4$ となる
$2\equiv2$
$2^2\equiv2^2=4$
$2^3\equiv4\times2=8\equiv2$
$2^4\equiv2\times2=4$
$\vdots$
$2^{2n}\equiv4$
$2^{2n+1}\equiv2$
となるが $q$ は $5$ 以上の素数だから必ず奇数なので
$2^q\equiv2$
よって不適
(i)(ii)より $q<5$ つまり $q$ の候補は $q=3$ のみ
このとき $p^q+q^p=2^3+3^2=8+9=17$ となり $p^q+q^p$ は素数になる